-Wilcoxon符号秩检验.ppt

§2.2Wilcoxon符号秩检验例2.4下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒量（相当于纯酒精数）（单位：升）。数据已经按升幂排列。
4.125.187.639.7410.39
11.9212.3212.8913.5414.45
人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中
位数相当于纯酒精8升，也就是me0=8。由数据
算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为：
H0：me＝8，H1：me>8
先计算每个样本值和原假设中me0的值之差，即Xi－8。
考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到大排序，从而求出这些绝对值的秩。
再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之和，如果这个和比较大，我们就拒绝原假设，接受备择假设。问题一般提法：
假定样本X1,…,Xn来自分布连续对称的总体X，在此假定下总体X的中位数等于均值。
问题主要是检验中位数，即原检验为H0：me=me0，相对于各种单双边的备择假设。

注：
（1）与符号检验不同：Wilcoxon符号秩检验假设总体分布是对称的。

（2）在总体分布对称的假设下，即设总体X的分布关于点θ对称，则X的均值和中位数相同，且均为θ。所以检验总体中位数可等价于检验总体对称中心。即检验的原假设H0：M=M0等价于H0：θ=θ0（相对于各种单双边的备择假设）。检验步骤：
H0：θ＝θ0（对应于各单双边备择假设）

Step1.计算i=1,2,…,n。记差为zi.
Step2.将差zi.的绝对值，即…,按从小到大的顺序排列。由于总体服从连续型分布，不妨假定样本互不相等，都不等于0，且样本差的绝对值也互不相等。所以可得到样本zi.的绝对值的秩，不妨记的秩为Ri。
Step3.符号秩和检验统计量为

其中

或者取检验统计量为

其中

主要取W＋为检验统计量。Step4设w＋表示由样本算出的W＋的值。
（1）H0：θ＝θ0,H1：θ>θ0
p值＝P(W＋≥w＋)；
（2）H0：θ＝θ0,H1：θ<θ0
p值＝P(W＋≤w＋)；
（3）H0：θ＝θ0,H1：θ≠θ0
p值＝2min{P(W＋≥w＋)，P(W＋≤w＋)}

对Step4的注解：
对于对称中心不为0的总体分布，可以转
化为中心为0的情况进行检验！
现不妨假设θ0＝0，则原假设变为
H0：θ＝0
对于这种检验，通过严格的证明来说明p值
的选取。（1）H0：θ＝0,H1：θ>0。
若H1成立，则总体X的分布关于点θ对称。
从而有，
P(X>0)>P(X<0)，
且对任意正数a，
P(X>a)>P(X<－a)。
所以当H1成立，不仅观察到的取正值的样本
数据的个数比较多，且取正值的样本数据的
拒绝值也比较大。由此，H1成立时，W＋的值
较大。所以p值＝P(W＋≥w＋)。例2.2中我们的检验设为：
H0：M＝8，H1：M>8

下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验
H0：θ＝8，H1：θ>8检验步骤
Step1.对于i=1,2,…,n，计算得到新的样本zi和它们对应的秩如下：Step2.计算W＋。
W+=2+4+6+7+8+9＋10＝46
利用W＋的分布，辅以统计软件，可计算出p值＝0.032。

Step3.所以给定α＝0.05时，此时可拒绝原假设，认为欧洲人均酒精年消费多于8升。

W＋的分布性质
（关键）性质2.1令则在总体的分布关于原点0对称时，W＋与S同分布。

注：
S是W＋当Ri＝i时的特殊情况。研究W＋
的分布可转为研究S的分布。概率分布
性质2.2在总体的分布关于原点0对称时，W＋的概率分布为
P(W+=d)=P(S＝d)
=tn(d)/2n,
其中，d＝0,1,2,…,n(n+1)/2，tn(d)表示从1,
2,…,n这n个数中任取若干个数（包括一个都
不取），其和恰为d，共有多少种取法。对称性
性质2.3在总体的分布关于原点0对称时，W＋服从对称分布，对称中心为n(n+1)/4，即：对所有的d=0,1,2,…,n(n+1)/4，有
P(W+=n(n+1)/4－d)
＝P(W+=n(n+1)/4+d),

P(W+≤n(n+1)/4－d)
＝P(W+≥n(n+1)/4+d)。

期望方差及渐近正态性
性质2.4在总体分布关于原点0对称时，
E(W+)=n(n+1)/4，
D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24。

性质2.5若总体分布关于原点0对称，则在样本容量n趋于无穷大时，W+有渐近正态性：
W＋N（n(n+1)/4，n(n+1)(2n+1)/24）
有结的情况下，用平均秩法。
性质2.6在总体的分布关于原点0对称，有结秩取平均时，
E(W+)=n(n+1)/4，
D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24－
其中g表示结的个数，表示第i个结的长度。
有结时，W＋的期望和方差实际上是条件期望和
方差，