空间向量的坐标运算ppt课件.ppt

11．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．2．空间两点间的距离公式3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，
B(3cosα，3sinα，1)，则||的取值范围是()
A.[0,5]B.[1,5]
C.(1,5)D.[1,25]
A垂直关系：例2已知平面经过三点A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),试求平面的一个法向量.8101112六、夹角：例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.
求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；取x=1，则y=1，z=2；例二：例2解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.
则∴
取n＝(1，－1，－1)，
设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
∴cosθ＝.

【巩固练习】25如图所示，在四棱锥P－ABCD
中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边
形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，
CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB
与平面ABCD成30°的角.
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.[思路点拨]
[课堂笔记]以C为坐标原点，CB为x
轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示
的空间直角坐标系C－xyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，
P(0,0,2)，M(，0，)，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，
＝(，0，)，
(1)令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则

令y＝2，得n＝(－，2,1).
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥，又CM⊄平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E，
则E(，2,1)，＝(－，2,1).
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·
＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.
∴BE⊥平面PAD，
又∵BE⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
小结：1.若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所
成的角为θ，则cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.
2.利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有
两种办法：
①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，
转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与
平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平
面所成的角.
l5.如图，在棱长为1的正方体ABCD－
A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1
的中点，那么直线AM与CN所成角的
余弦值为.解析：建立如图所示的坐标系，
则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，，)
则＝(0，，1)，
＝(1,0，).
∴cos〈〉＝
＝＝.
∴直线AM与CN所成角的余弦值为.
(2009·全国卷Ⅱ)如图，
直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥
AC，D、E分别为AA1、B1C的中
点，DE⊥平面BCC1.
(1)证明：AB＝AC；
(2)设二面角A－BD－C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小.[思路点拨]
[课堂笔记](1)证明：以A为坐标
原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1
为z轴.建立如图所示的直角坐标
系A－xyz.
设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)，
E(，，c).
于是＝(，，0)，＝(－1，b,0).
由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，·＝0，
求得b＝1，
所以AB＝AC.
(2)设平面BCD的法向量＝(x，y，z)，
则·＝0，·＝0.
又＝(－1,1,0)，＝(－1,0，c)，故
令x＝1，则y＝1，z＝，＝(1,1，).
又平面ABD的法向量＝(0,1,0).
由二面角A－BD－C为60°知，〈〉＝60°，
故·cos60°，求得c＝.
于是＝(1,1，)，＝(1，－1，)，
Cos〈〉＝＝，〈〉＝60°.
所以B1C与平面BCD所成的角为30°.
解：由本例(2)知，＝(－1,1，－)，
又B(1,0,0)，A1(0,0，)，∴＝(－1,0，).
∴＝1－×＝－1，
47A.B.
C.D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)