李雅普诺夫稳定性的基本定理.ppt

李雅普诺夫稳定性的基本定理李雅普诺夫第一法(2/7)李雅普诺夫第一法(5/7)李雅普诺夫第一法(6/7)李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1李雅普诺夫第一法(8/7)李雅普诺夫第二法(1/3)李雅普诺夫第二法(2/3)李雅普诺夫第二法(3/3)数学预备知识(1/1)实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义实函数的正定性(4/4)二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4)二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4)二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)--矩阵定号性定义矩阵正定性的判别方法(1/5)矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理矩阵正定性的判别方法(2/5)—矩阵定号性判定定理矩阵正定性的判别方法(3/5)—矩阵定号性判定定理矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(1/5)李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)因此,有
mx’’=-mg(cos-fsin)
因此,能量的变化趋势(导数)为
V’=mx’x’’+mgx’cos
=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos
=mgx’fsin从直观物理意义的角度,也非常易于理解。
由于物体运动所受到的摩擦力作负功,由能量守恒定律可知,物体的能量将随物体运动减少,
即其导数(变化趋势)为负。再如右图所示的动力学系统,其平衡态在一定范围内为不稳定的平衡态。
对该平衡态的邻域,可定义其能量(动能+势能)函数如下:由牛顿第二定律可知,其运动满足如下方程:
ma=mgcos-fmgsin
因此,有
mx’’=mg(cos-fsin)
因此,能量的变化趋势(导数)为李雅普诺夫第二法的基本思想就是通过定义和分析一个在平衡态邻域的关于运动状态的广义能量函数来分析平衡态的稳定性。
通过考察该能量函数随时间变化是否衰减来判定平衡态是渐近稳定,还是不稳定。
基于上述关于函数的定号性的定义和上述物理意义解释,下面阐述李雅普诺夫第二法关于
平衡态稳定、
渐近稳定、
大范围渐近稳定和
不稳定
的几个定理。(1)渐近稳定性定理

定理3-4设系统的状态方程为
x’=f(x,t)
其中xe=0为其平衡态。
若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件:
1)若V’(x,t)为负定的,则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;
2)更进一步，若随着||x||→,有V(x,t)→,那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。□
对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件,而非必要条件。
也就是说,若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函数,则系统是一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定的。
但是,如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数,也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。
此时,我们或者
继续寻找满足条件的李雅普诺夫函数,或者
可利用后续定理的结论来判别平衡态的渐近稳定性。2)对于渐近稳定的平衡态,满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的,但并不唯一。
3)对于非线性系统,虽然具体的李雅普诺夫函数可证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的,但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的;
对于线性系统,如果存在着渐近稳定的平衡态,则它必是大范围渐近稳定的。
4)此定理不仅适用于线性系统,同样适用于非线性系统;既适用于定常系统,同样也适用于时变系统。
因此李雅普诺夫第二法是判别平衡态稳定性的具有普遍性的方法。
5)李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普诺夫函数的方法。
寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态方程而具体分析。对于二阶系统,容易给出上述定理的直观几何解释(右图为李雅普诺夫函数V(x,t)为欧氏距离的一个二维系统的x1-x2相平面图)。V’(x,t)为负定同时也表示系统状态将从现在所处于的在该封闭超球面簇中超球面向原点方向(向内)运动,最后逐渐趋向原点。例3-3试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。例3-4试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。定理3-4中严格要求选择的李雅普诺夫函数为正定函数,其导数为负定函数。
这给该定理的应用,特别是寻找适宜的李雅普诺夫函数带来一定困难。
下面给出一个定理对上述定理3-4作一补充,以减弱判别条件。(2)稳定性定理
定理3-5设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件:
1)V’(x,t)为非正定(半负定)的,则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的;
2)更进一步,若V(x,t)的定义域为