2021届吉林省吉林市普通中学高三第三次调研测试数学(理)试试题(含解析)-(1).doc

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2021届吉林省吉林市普通中学高三第三次调研测试数学（理）试试题

一、单选题
1．已知集合，则的子集的个数为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出交集且可得其子集个数．
【详解】由题意，因此它的子集个数为4．
故选：D．
【点睛】结论点睛：集合中含有个元素，则它的子集个数为，其中真子集个数为．
2．若是定义在上的奇函数，且，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数得，再由周期性可得结论．
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
又，所以是周期函数，周期为2．
所以．
故选：C．
3．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线的位置关系，设直线，再代入点，求直线的方程.
【详解】直线与直线垂直，设直线的方程为，
直线经过点，，即.
直线的方程为.
故选：C
4．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】A
【分析】由题意构造等差数列，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求.
【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：
，
解得：
所以，
所以，
即春分时节的日影长为4.5.
故选：A
【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换.
5．若圆的半径为,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程是()
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依据条件确定圆心纵坐标为1，又直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径求出圆心坐标，写出圆的标准方程.
【详解】因为圆C的半径为1，圆心在第一象限且与直线和轴都相切，
所以圆心的纵坐标为1，设圆心坐标，则，又,所以
所以该圆的标准方程是，故选C.
【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆与切线的关系，属于中档题.
6．的展开式中的系数为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】写出的展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，且，
所以，的展开式通项为，
由，可得，
因此，的展开式中的系数为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：两个二项式乘积的展开式中的特定项问题：
（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；
（3）分别求解在相乘、求和即可.
7．已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正弦值为它的高与母线的比值，结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正弦值.
【详解】如图，根据圆锥的性质得底面圆，
所以即为母线与底面所成角，
设圆锥的高为，则由题意，有
，所以，
所以母线的长为，
则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为.
故选：A

【点睛】本题考查了圆锥的体积，线面角的概念，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据圆锥的性质得即为母线与底面所成角，再根据几何关系求解.
8．己知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合正弦函数性质确定的范围，然后利用对数函数性质确定函数图象．
【详解】的最大值为，，则最小值为，，，
最小正周期为，则，，即，，
是减函数，向左平移个单位得的图象，只有A符合．
故选：A．
9．已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）
A． B．或2 C． D．或
【答案】B
【分析】由等比中项的性质可得，分别计算曲线的离心率.
【详解】由是和的等比中项，可得，
当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，
当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，
故选：B.
10．如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在内”，表示事件“豆子落在内”，则

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，包含个小三角形，同