2022高考数学文人教A版一轮复习学案：5.2-平面向量基本定理及向量的坐标表示-【含解析】.docx

5.2平面向量基本定理及向量的坐标表示
必备知识预案自诊
知识梳理
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作OP=a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得OP=xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对叫做向量a的坐标,记作a=.
3.平面向量的坐标运算

运算坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2))和a+b=(x1+x2,y1+y2)差a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘λa=(λx1,λy1),其中λ∈RAB设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1)
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔.
5.向量的夹角
已知两个向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作.

1.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为x1+x22,y1+y22.
3.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则Gx1+x2+x33,y1+y2+y33.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ()
(2)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变. ()
(3)在△ABC中,向量AB,BC的夹角为∠ABC. ()
(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. ()
(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1x2=y1y2. ()
2.(2020北京海淀期中,2)已知向量a=(m,2),b=(2,-1).若a∥b,则m的值为()

A.4 B.1
C.-4 D.-1
3.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()

A.2 B.2
C.52 D.50
4.已知向量a=(1,-2),同时满足条件①a∥b,②|a+b|<|a|的一个向量b的坐标为.
5.(2020北京海淀区调研)在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且AD=13AB+12AC.延长AD交BC于点E,若AE=λAB+μAC,则λ-μ的值是.
关键能力学案突破
考点平面向量基本定理的应用

【例1】(1)(2020河南郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,BC=3EC,F为AE的中点,则BF=()

A.23AB-13AD B.13AB-23AD
C.-23AB+13AD D.-13AB+23AD
(2)(2020山东聊城一中高三模考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于点M,设AB=a,AD=b,则下列结论不正确的是 ()
A.AC=12a+b B.BC=-12a+b
C.BM=-13a+23b D.EF=-14a+b
思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?
解题心得平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
对点训练1(1)直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若AB=2AE,AD=3AF,AM=λAB-μAC(λ,μ∈R),则52μ-λ=()
A.-12 B.1 C.32 D.-3
(2)(2020湖南湘潭三模,文8)已知向量a,b是两个不共线的向量,且OA=3a+5b,OB=4a+7b,OC=a+mb,若A,B,C三点共线,则m=()
A.1 B.-1 C.2 D.-2
(3)设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1+e2=.
考点平面向量的坐标运算
【例2】(1)(2020河南高三质检,8)在边长为2的正方形ABCD中,E为