非自映射不动点的迭代逼近.docx

非自映射不动点的迭代逼近
非自映射不动点的迭代逼近
概念引入
在数学中，一组数学对象A和B通过映射T相互关联，当T对A施加操作后得到的结果仍然在B中，且对于B中的任意一个对象，都存在一个A中的对象与之对应。这种关联关系称为映射。
当映射T对于集合A中的某个元素a的操作后，结果仍然是a本身，即T（a）=a，那么我们就称a是映射T的不动点，也可以称作固定点。映射T的不动点集合被称作T的不动点集，通常用FP(T)表示。
若T为自映射，则FP(T)是T的全体不动点的集合，也就是只有T自己对应于其不动点。如果T不是自映射，也就是存在元素a在不断地施加映射后会得到不同的元素，那么T的不动点集就不再是T的全体不动点的集合了，即不再是自映射的概念了。
迭代逼近是指通过多次运用映射，使得初始点不断逼近其不动点。在实际问题中，迭代逼近经常使用于无法通过显式求解的函数或方程的求解任务。
经典的例子是使用牛顿迭代法寻找函数的根。设函数f（x）在x0处存在一个根，即f（x0）=0，将x0作为初始值，迭代公式如下：
xi+1=xi-f（xi）/f’（xi）
其中f’表示f的导数。当迭代次数足够多时，x的迭代值会逐渐逼近f（x）=0的解，即迭代逼近求得的不动点是函数的根。
非自映射的迭代逼近
在非自映射的情况下，不动点的注定难以被完全捕捉。但通过改变映射的方式和迭代逼近的方法，我们可以找到一些平衡点（或者稳定的周期点），这些点在某些情况下可能是有意义的。
在非自映射的情况下，我们定义迭代序列{xi}如下：
xi+1=T（xi，x0）
其中T为映射，x0为初始点。我们希望在迭代序列中找到一个平衡点x*，即T（x，x0）=x，即x是T的不动点。由于T不再是自映射，因此我们不能直接求出T的全体不动点，但是通过迭代逼近，我们可以找到一个逼近的解。
下面给出非自映射迭代逼近的一般性描述：
1.选择一个迭代序列{xi}，并选取初始点x0，假设T（x，x0）满足某些性质，使得T作用于序列的不同成分（$x_i$）和初始点x0，使得序列不断远离初始位置，直到序列的某一部分开始接近x*，其中x*是一个平衡点或周期初始值。
2.假设迭代序列{xi}收敛于平衡点x*或周期初始值P(x*)，我们又可以通过选择其他初始化点来重复上述过程，以便我们可以更精确地找到平衡点和周期。
下面给出一个例子。
例子1：求非线性方程的解
假设我们要求解下面的非线性方程：
x2=cos（x）
图1绘制x和cosx的图像
我们可以将此非线性方程表示为：
f（x）=x2-cos（x）=0
我们使用求解根的迭代公式，将初始值x0=0代入公式中：
xi+1=xi-f（xi）/f’（xi）
其中：
f’（x）=2x+sin（x）
我们得到下面的迭代方程组：
xi+1=cos（xi）
如图1所示，我们发现作为一个单调的连续映射T（x）=cos（x），它的不动点位于x=0.7390851332的位置。
我们可以使用迭代逼近方法来确定不动点。假设我们选择x0=1作为初始值，我们得到下面的迭代序列：
x1=cos（1）=0.5403023059
x2=cos（x1）=0.8575532158
x3=cos（x2）=0.6542897916
x4=cos（x3）=0.7934803555
x5=cos（x4）=0.7013687736
x6=cos（x5）=0.7638263472
x7=cos（x6）=0.7224730839
x8=cos（x7）=0.7502305572
x9=cos（x8）=0.7314040425
x10=cos（x9）=0.7442373541
x11=cos（x10）=0.7363760915
......
我们可以观察到，在x7之后，x开始逐渐逼近平衡点x*=0.7390851332。在这种情况下，我们可以确定x*是平衡点，并且这个平衡点是x2=cos（x）问题的解。
讨论
非自映射迭代逼近的一个好处是它适用于多种问题。例如，它可以用于求解非线性方程、求解非线性积分方程、求解椭圆边界值问题等。另一方面，由于T不再是自映射，因此，绝对平衡点和周期点不容易获得。这也使得我们的算法设计更加困难。在一个常见的情况下，我们可以通过逐步迭代的方式得到一个逼近的序列，以期得到一个合理的近似解。
结论
非自映射不动点的迭代逼近适用于求解多种问题，包括求解非线性方程和求解椭圆边界值问题。在非自映射的情况下，我们不能直接求出T的全体不动点，但是通过迭代逼近，我们可以找到一个逼近的解。非自映射的迭代逼近需要不断试错、调整，并结合对问题的深刻理解才能得到最终的结果。