第3讲等比数列及其前n项和.docx

下载后根据自身情况适当修改即可使用，全文可编
第3讲等比数列及其前n项和
一、选择题
1.eq\r(2)＋1与eq\r(2)－1两数的等比中项是()
A．1 B．－1
C．±1 D.eq\f(1,2)
解析设等比中项为x，
则x2＝(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝1，即x＝±1.
答案C
2．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()．
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XY D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析(特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.
答案D
3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝()．
A．2 B.eq\f(1,2) C．2或eq\f(1,2) D．3
解析∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，
化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.
答案A
4．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝ ()．
A．8 B．15(eq\r(2)＋1)
C．15(eq\r(2)－1) D．15(1－eq\r(2))
解析∵a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝8，∴aeq\o\al(2,1)q6＝8，∴q＝eq\r(2)，∴S8＝eq\f(1－q8,1－q)＝15(eq\r(2)＋1)．
答案B
5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－eq\f(1,5)，则实数t的值为()．
A．4 B．5 C.eq\f(4,5) D.eq\f(1,5)
解析∵a1＝S1＝eq\f(1,5)t－eq\f(1,5)，a2＝S2－S1＝eq\f(4,5)t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)t))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)t－\f(1,5)))·4t，显然t≠0，所以t＝5.
答案B
6．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为()．
A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2) C．1 D．－eq\f(\r(3),2)
解析因为a3a4a5＝3π＝aeq\o\al(3,4)，所以a4＝3eq\f(π,3).
log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3aeq\o\al(7,4)＝7log33eq\f(π,3)＝eq\f(7π,3)，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝eq\f(\r(3),2).
答案B
二、填空题
7．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
解析设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，eq\r(t＋1)，eq\r(3,t＋2)}故q的最小值是eq\r(3,3).
答案eq\r(3,3)
8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
解析由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝4n－1.
答案4n－1
9．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝eq\f(1,2)，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．
解析由已知可得a1＝f(1)＝eq\f(1,2)，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，
∴