高二数学 空间向量的应用 知识精讲 苏教版.doc

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高二数学空间向量的应用知识精讲苏教版

一.本周教学内容：
空间向量的应用

二.本周教学目标：
1、理解直线的方向向量与平面的法向量
2、会用代定系数法求平面的法向量．
3、能用向量语言表述线线、线面、面面平行和垂直的关系
4、能用向量的方法证明空间线面位置关系的一些定理
5、能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．

［知识要点］
一、直线的方向向量与平面的法向量
1、直线的方向向量
我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．
2、法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称n向量垂直于平面，记作，此时，我们把向量n叫做平面的法向量．

二、空间线面关系的判定
证明两平面平行或垂直：
证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直．

三、空间角的计算
1、要求斜线与平面所成的角，可先求斜线与该平面的法向量所成的角，再利用关系“斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成角（锐角）互余或和斜线与该平面的法向量所成的角（钝角）的补角互余”求出斜线与平面所成的角；求平面与平面所成的二面角，即求两平面的法向量所夹的角（它与面面夹角相等或互补）．
2、求二面角的大小：二面角，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，，则二面角的大小为或．

【典型例题】
例1.在正方体中，求证：是平面的法向量，并求面
的一个法向量．

证：不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为：
A（1，0，0），C（0，1，0）（0，0，1）（1，1，1）
＝（1，1，1），＝（－1，1，0），
＝0，，同理
平面
（2）设求面的一个法向量＝（x，y，z），则·＝0，·＝0
＝（－1，1，0），
不妨取x＝1，＝（1，1，1）

例2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点．
求证：（1）D1F⊥平面ADE；（2）平面
证明：（1）如图，所示建立空间直角坐标系D－xyz，令AA1＝2，则D（0，0，0）、D1（0，0，2）、A（2，0，0）、E（2，2，1）、F（0，1，0），

所以＝（2，0，0），＝（0，2，1），＝（0，1，－2），
设，分别是平面ADE、平面A1D1F的法向量．则，．

取，则，同理可得：
（1）∴D1F⊥平面ADE
（2）（0，1，－2）（0，2，1）＝0
∴平面A1D1F⊥平面ADE

例3.用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．
已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且
求证：．

证明：在内作不与重合的任一直线，在上取非零向量，
∵相交，
∴向量不平行，由共面定理可知，
存在唯一有序实数对，使，
∴，又∵，
∴，∴，∴，
所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．

例4.如图正方体中，，求与所成角的余弦
解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，

则，，，，
∴，，
∴，
．
．

例5.在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点．
（1）求证：；
（2）求与所成的角的余弦；
（3）求的长．
解：如图，以为原点建立直角坐标系，

则，，，，
，，，
（1），，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
，，
∴，
∴与所成的角的余弦．
（3）∵，
∴

【模拟试题】
1、如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．

2、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．

3、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

4、在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）COS．

5、如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F．
（1）证明平面；
（2）证明平面EFD；
（3）求二面角的大小．

6、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值．

[参考答案]
1、证明：
又，
即……①

又，即……②
由①＋②得：即

2、解：（1）A（2，2，0），B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）
（2）∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1＝（0，－2，2），EQ\s\up7(→)\d\ba2