高二数学 空间向量的应用(文)知识精讲 苏教版 试题.doc

高二数学空间向量的应用（文）苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：空间向量的应用二.本周教学目标：1、理解直线的方向向量与平面的法向量2、会用代定系数法求平面的法向量．3、能用向量语言表述线线、线面、面面平行和垂直的关系4、能用向量的方法证明空间线面位置关系的一些定理5、能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．［知识要点］一、直线的方向向量与平面的法向量1、直线的方向向量我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．2、法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面那么称n向量垂直于平面记作此时我们把向量n叫做平面的法向量．二、空间线面关系的判定证明两平面平行或垂直：证明直线与平面垂直可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；证明平面与平面垂直可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直．三、空间角的计算1、要求斜线与平面所成的角可先求斜线与该平面的法向量所成的角再利用关系“斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成角（锐角）互余或和斜线与该平面的法向量所成的角（钝角）的补角互余”求出斜线与平面所成的角；求平面与平面所成的二面角即求两平面的法向量所夹的角（它与面面夹角相等或互补）．2、求二面角的大小：二面角平面的法向量为n1平面的法向量为n2则二面角的大小为或．【典型例题】例1.在正方体中求证：是平面的法向量并求面的一个法向量．证：不妨设正方体的棱长为1建立空间直角坐标系如图所示则各点坐标为：A（100）C（010）（001）（111）＝（111）＝（－110）＝0同理平面（2）设求面的一个法向量＝（xyz）则·＝0·＝0＝（－110）不妨取x＝1＝（111）例2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中E是BB1的中点F是CD的中点．求证：（1）D1F⊥平面ADE；（2）平面证明：（1）如图所示建立空间直角坐标系D－xyz令AA1＝2则D（000）、D1（002）、A（200）、E（221）、F（010）所以＝（200）＝（021）＝（01－2）设分别是平面ADE、平面A1D1F的法向量．则．取则同理可得：（1）∴D1F⊥平面ADE（2）（01－2）（021）＝0∴平面A1D1F⊥平面ADE例3.用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．已知：是平面内的两条相交直线直线与平面的交点为且求证：．证明：在内作不与重合的任一直线在上取非零向量∵相交∴向量不平行由共面定理可知存在唯一有序实数对使∴又∵∴∴∴所以直线垂直于平面内的任意一条直线即得．例4.如图正方体中求与所成角的余弦解：不妨设正方体棱长为建立空间直角坐标系则∴∴．．例5.在棱长为的正方体中分别是中点在棱上是的中点．（1）求证：；（2）求与所成的角的余弦；（3）求的长．解：如图以为原点建立直角坐标系则（1）∴∴．（2）∵∴∴∴与所成的角的余弦．（3）∵∴【模拟试题】（答题时间：50分钟）1、如图一空间四边形ABCD的对边AB与CDAD与BC都互相垂直用向量证明：AC与BD也互相垂直．2、如图在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中E是DC的中点取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．3、如图已知矩形ABCD所在平面外一点PPA⊥平面ABCDE、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若PDA＝45求EF与平面ABCD所成的角的大小．4、在正方体中如图E、F分别是CD的中点（1）求证：平面ADE；（2）COS．5、如图在四棱锥中底面ABCD是正方形侧棱底面ABCDE是PC的中点作交PB于点F．（1）证明平面；（2）证明平面EFD；（3）求二面角的大小．6、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值．【试题答案】1、证明：又即……①又即……②由①＋②得：即2、解：（1）A（220）B1（202）E（010）D1（022）（2）∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1＝（0－22）EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝（012）∴|EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1|＝2EQ\R(2)|EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1|＝EQ\R(5)EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1·EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝0－2＋4＝2∴cosEQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1