高考数学 命题角度5.doc

命题角度5.1：曲线与轨迹问题
1.已知圆，直线
（1）判断直线和圆的位置关系。

（2）求圆心到直线的距离的最大值。
（3）如图所示，圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹方程．
【答案】（1）相交；（2）；（3）

试题解析：（1）∵
∴
∴直线经过定点P（1，-1）
又∵12+12<4
∴（1，-1）在圆的内部
∴直线与圆相交。
（2）由（1）知圆心到直线的最大距离为

【点睛】本题第（1）问中直线为中心直线系，对于含有参数的直线或曲线，我们可以先分析直线或曲线特征，再选择合适的方法解题，本题如果用点到直线距离公式，较复杂些。（2）第（2）利用了几何知识，在解解析几何题时，首先要考虑这是一个几何问题，看是否有几何特征，有时可以简化运算，再考虑代数方法。
2.在平面内，设到定点F（0，2）和轴距离之和为4的点P轨迹为曲线C，直线过点F，交曲线C于M，N两点。
（1）说明曲线C的形状，并画出图形；
（2）求线段MN长度的范围。
【答案】曲线C是焦点在F（0，2），准线分别为和
顶点分别是（0，-1）和（0，3）的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD
【解析】解：（1）设动点，由已知得：
1分
当时，，
化简得：
当时，
化简得：3分
如图：曲线C是焦点在F（0，2），准线分别为和
顶点分别是（0，-1）和（0，3）的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD

……6分
（2）当M、N在两支抛物线上时，过M、N分别作相应准线的垂线，垂足分别是M1、N1，由抛物线定义，MM1=MF；NN1=NF，
设M、N的纵坐标分别为
当过BD时，|MN|最小，最小值为4，
当过C（或A）时，|MN|最大，
此时直线的方程为和抛物线
另一个交点，|MN|最大值为，
|MN|范围是10分
当M、N都在上支抛物线上时，易求|MN|范围也是
由上综述：|MN|范围是
3.在直角坐标系xOy上取两个定点再取两个动点，，且．
（Ⅰ）求直线与交点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过的直线与轨迹C交于P,Q，过P作轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若,求证：.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

（Ⅱ）设，
由（）………………………………6分
由故,………………8分
要证,即证,只需证：
只需即证即,………10分
由（）得：，即证.……………………12分
（本题亦可先证直线NQ过焦点F，再由得证）
点睛：椭圆是圆锥曲线的重要而典型的代表曲线之一，求解这类问题时，充分借助题设条件与椭圆的有关知识，运用等价转化思想、函数方程思想、分类整合思想等数学思想及运算求解能力、推理论证能力等综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
4.已知圆与轴交于两点，点为圆上异于的任意一点，圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于，直线和交于点，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；
（2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）详见解
【解析】试题分析：（1）设，则处的切线为，切线CD与AC,BD组方程组可求得C,D点坐标，再直线AD,BC组方程组，解点交点P轨迹方程。注意消参，需要用到点M在圆上。同时注意曲线方程变量范围。（2）设，则，与椭圆组方程组，可求得GH,同理求得，再利用进行分类讨论。
试题解析：（Ⅰ）设，则处的切线为，
则，，则，则；
（Ⅱ）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则
，得，由于恒成立，设两个根为，
则，同理，
由知：，得：

（3）两条直角边所在直线方程为：
点睛：（1）中求轨迹方程是交轨法，只需把直线AD,BC两直线方程两边对应相乘，再代入M点在圆上，可轻松消参，求得P点轨迹方程。
5.如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点（不为原点）．

（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若点坐标为求的值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】试题分析：
(1)设出点的坐标，利用坐标关系首先写出直线的方程，然后结合题意即可求得点的轨迹方程.
(2)利用点在抛物线上，将点的坐标代入抛物线方程求解的值即可.
试题解析：
（Ⅰ）设点的坐标点的坐标，点的坐标为，由得
由已知，得直线的方程为．
又有
由得．把代入并消去得
得代入
得，
故所求点的轨迹方程为．
（Ⅱ）以代入方程中，得
6.已知，，边所在直线的斜率之积为定值，
（1）求动点的轨迹方程；
（2）当时，过点的直线与曲线相交于两点，求两点的中点的轨迹方程
【答案】（1）当时，动点的轨迹方程为，
当时，动点的轨迹方程为
当时，动点的轨迹方程为
当时，动点的轨迹方程为
当时，动点的轨迹方程为
（2）或
试题解析：以边所在直线为轴，以边的垂直平分线为轴