高考数学 命题角度5.doc

命题角度5.5：圆锥曲线的定值、定点问题1.已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为.证明：为定值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析:（I）设椭圆的方程，利用离心率e＝直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，确定几何量，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）利用M点在椭圆上，计算斜率，化简即可得到结论．（2）证明：由椭圆的方程得，设点的坐标为，则...为定值.点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查斜率的计算，主要应用点在曲线上得出定值.2.已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别交直线于点，，证明以为直径的圆被轴截得的弦长为定值，并求出此定值.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】试题分析：（1）依据题设条件及两点间距离公式建立方程分析求解；（2）依据题设条件建立直线，的方程，再运用坐标之间的关系分析探求：试题解析：解：（Ⅰ）设点的坐标为，因为定点在定直线：的右侧，且动点到定直线：的距离比到定点的距离大，所以且，化简得，即，轨迹的方程为．（Ⅱ）设，（），则，，∵，，三点共线，∴，∴，又，∴，直线的方程为，令，得．同理可得．所以以为直径的圆的方程为，即．将代入上式，可得，令，即或，故以为直径的圆被轴截得的弦长为定值4．点睛：解析几何是高中数学中重要的知识与内容，也是高考重点考查的重要考点与热点。这类问题的设置旨在考查借助直角坐标的关系求解几何图形问题。求解第一问时充分依据题设条件，运用两点间距离公式建立等量关系，通过化简使得问题获解；解答第二问时，先设，，在借助题设中的条件建立以为直径的圆的方程为，探究其最值关系，从而使得问题获解。3.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆，是上一点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线．【答案】（1）（2）见解析试题解析：（1）由已知得，且，在中，由余弦定理得，解得.则，所以椭圆的方程为.（2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得，设，则.设，由得（考虑线段在轴上的射影即可），所以，于是，整理得，（*）又，代入（*）式得，所以点总在直线上.考点：1.椭圆标准方程；2.直线与椭圆位置关系.点睛：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题时高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：（1）从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点，（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.4.已知椭圆的焦距为，点在上.（I）求的方程；（II）过原点且不与坐标轴重合的直线与有两个交点，点在轴上的射影为，线段的中点为，直线交于点，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.【答案】（I）（II）定值【解析】试题分析：（1）（I）由题意知，的焦点坐标为，利用定义求解的值，即可得到椭圆的标准方程；试题解析：（I）由题意知，的焦点坐标为，，.所以，椭圆的方程为.（II）设，则由点在椭圆上得，，两式相减得，.，.因为三点共线，所以，即.，为定值.5.已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明：为定值，并求出这个定值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）定值为【解析】试题分析：（1）设动圆圆心坐标为，根据垂径定理得，化简解得圆心的轨迹方程；（2）设直线的方程为：，利用直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理化简试题解析：解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，由题意得：动圆半径圆心到轴的距离为，依题意有，化简得，即动圆圆心的轨迹方程为：（Ⅱ）①当直线的斜率不存在，则直线的方程为：得所以，故为定值.综合①②，为定值，且定值为点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.6.如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C是椭圆上不同的三点，，C在第三象限，线段BC的中点