高中数学 用构造局部不等式法证明不等式解题思路大全.doc

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用构造局部不等式法证明不等式

有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。

例1.若，，求证：
分析：由a，b在已知条件中的对称性可知，只有当，即时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。
证明：
同理，
∴

例2.设是n个正数，求证：
。
证明：题中这些正数的对称性，只有当时，等号才成立，构造局部不等式如下：
。
将上述n个同向不等式相加，并整理得：
。

例3.已知均为正数，且，求证：
。
证明：因均为正数，故，
。
又∵，
∴把以上各个同向不等式相加，整理得：

故。
例4.设，且，求证：。
（第36届IMO）
证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当时，才有可能达到最小值，此时刚好。所以，可构造如下局部不等式。
∵，
，
，

例5.设，且，求证：。
证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当时，才可能达到最小值1，此时刚好。所以，可构造如下局部不等式。
∵
∴
即