高三数学（理）轨迹、解析与向量 知识精讲 人教版.doc

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高三数学（理）轨迹、解析与向量知识精讲人教版

一.本周教学内容：
轨迹、解析与向量

二.重点、难点：
（一）轨迹的求法
1.直接法
2.几何法
3.转移法
4.参数法

（二）向量与解析
依题意，用向量运算、定义、发现坐标及参数之间的关系，最后通常均转化为解析问题。

【典型例题】
[例1]，动点M满足，求M的轨迹。

解：设
（1）M在线段AB上，成立
（2）M不在线段AB上，∴图形在轴右侧
不妨设M在轴上方
①

∴*
②时，M（2，4）满足*式
∴轨迹为（）
或（）

[例2]圆M：，A（1，0），Q在M上，线段AQ的垂直平分线交半径MQ于P，求P点轨迹。
解：如图，为AQ的垂直平分线∴
∴∴
∴∴轨迹为椭圆：

[例3]椭圆M：，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，P为M上任一点，PA1⊥A1Q，，、的交点为Q，求Q点轨迹。

解：设P（）Q（）∴：
：
∴即：

[例4]过Q（）作直线，交椭圆于A、B，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求P点轨迹。
解：设P（）设直线：
∴
∴
设∴为参数
∴代入∴
半个椭圆

[例5]已知A（），B（2，0）点C，点D满足，
（1）求D点轨迹；
（2）经点A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点。线段MN的中点到轴的距离为，且直线与点D的轨迹相切，求椭圆方程。
解：
（1）设C（）D（）∴，
∵∴
∴∴
∴代入∴
（2）设椭圆方程为
：
与D的轨迹相切∴

即：*

代入检验*式∴椭圆方程

[例6]动点P与双曲线的两个焦点距离之和为定值，且的最小值为。
（1）求P点轨迹；
（2）若已知点D（0，3），点M，N在P的轨迹上，且，求的取值范围。

解：
（1）设P的轨迹为椭圆
P在短轴顶点时，最大最小
∴∴∴
（2）设M（）N（）∵
∴∴
消

∴∵
∴

[例7]无论为何值，直线：与双曲线C：（）恒有公共点。
（1）求C的离心率的取值范围；
（2）若直线过C的右焦点F与双曲线交于P、Q，并且满足，求C的方程。
解：
（1）
∴
①时，方程组无解不合题意
②，恒成立
即恒成立∴
∴
（2）设：，∴
∴∵
∴
又∵∴∴

[例8]如图F（1，0），点M在轴上，若且向量与的交点在轴上。
（1）求N的轨迹；
（2）是否存在过点（）的直线交轨迹于A、B且，并说明理由。

解：
（1）设N（）M（）
与的交点为P∴为中点
且∴∴，
∴∴
（2）设存在直线满足条件
：令，

∴∴

定值
∴不存在使

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1.半径不等的两定圆O1、O2外离，动圆O与圆O1、圆O2都内切，则圆心O的轨迹为（）
A.双曲线 B.椭圆
C.抛物线 D.双曲线的一支
2.若三边、、（）成等差数列，点A、C的坐标分别为（）和（1，0），则顶点B的轨迹方程是（）
A. B.
C.（） D.（）
3.若F1、F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任一点，从任一焦点作的外角平分线垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（）
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
4.动点P（）到直线的距离与它到点A（5，0）的距离的比为，则P点的轨迹图形是（）
A.中心在原点的椭圆 B.中心在（7，0）的椭圆
C.中心在原点的双曲线 D.中心在（7，0）的双曲线
5.动点P（）与两定点A（）、B（2，0）构成三角形周长为10，则P点的轨迹方程是（）
A. B.
C. D.（）
6.抛物线的经过焦点的弦的中点轨迹方程是（）
A. B.
C. D.
7.平行四边形ABCD的顶点A、C坐标分别为（）、（），顶点D在直线上移动，则顶点B的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
8.已知P为抛物线上的动点，点A的坐标为（0，），点M在直线PA上，且点M分的比为2，则点M的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
9.设P点是以F1、F2为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为。
10.若M为抛物线上的一个动点，连结原点与动点M，以OM为边作正方形OMNK，则动点K的轨迹方程。
11.经过点P1（1，5）任意作一直线交轴于点A，经过点P2（2，）作直线的垂线交轴于点B，则分线段AB为的动点M的轨迹方程为。
12.①到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；
②到两个定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线；
③到定直线和定点F（）的距离之比为（）的点的轨迹是双曲线；
④到定点F（）和定直线的距离之比为的点的轨迹是椭圆。
请将正确命题的代号都填在横线上。

[参考答案]
1.D2.D3.A4.B5.B6.B7.A8.A
9.（）10.11.12.③④