高三数学（理）双曲线 知识精讲 人教版.doc

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高三数学（理）双曲线知识精讲人教版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
双曲线

二.本周教学重、难点：
掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质，能够根据双曲线性质画双曲线简图，了解双曲线在实际问题中的初步应用。

【典型例题】
[例1]根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线有公共焦点，且过点；
（2）与双曲线有共同渐近线，且过点
解：（1）方法一：设双曲线方程为
由题意易求
又双曲线过点∴
又∵∴
故所求双曲线方程为
方法二：设双曲线方程为
将点代入得
∴双曲线方程为
（2）方法一：设双曲线方程为
由题意得
解之，得
故双曲线方程为
方法二：设所求双曲线方程为，将点代入得
所以双曲线方程为
即

[例2]已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；
（3）求的面积。
解析：（1）∵∴可设双曲线方程为
∵双曲线过点∴，即
∴双曲线方程为
（2）证法一：由（1）可知，双曲线中∴
∴，
∴，

∵点M（3，m）在双曲线上∴，
故∴
∴
证法二：∵，
∴
∵M点在双曲线上∴，即
∴，即
（3）的底，的高
∴

[例3]双曲线C：的两条准线间距离为3，右焦点到直线的距离为，
（1）求双曲线C的方程；
（2）双曲线C中是否存在以为中点的弦？
解：（1）根据题意有
解之，得，，
所以双曲线C的方程为
（2）假设存在以为中点的弦AB，且设
则（*）
方法一：设AB所在直线方程为，即①
将①代入双曲线C：，整理得
②
∴③
④
由（*）及④得，整理得
将代入③有

即当时，方程②无解，从而不存在以为中点的弦
方法二：将代入双曲线C：
有
⑤－⑥，得
即
又由（*）知
即过AB的弦所在直线的斜率
从而AB所在的直线方程为，即
代入双曲线C的方程，化简得，此时
即时，所求直线与双曲线实际上没有交点
故不存在以为中点的弦

[例4]在双曲线的同一支上的不同三点，，与焦点F（0，5）的距离成等差数列。
（1）求；
（2）证明线段AC的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标。
解析：（1）∵点A在双曲线上支上，
由双曲线第二定义，
∴
同理，，
由题意，
得
∴
（2）证明：设AC的中点为，AC的中垂线为，其斜率为，则的方程为
由题意可得
<2>－<1>整理，得
把<3><4><5>代入上式，得
∴
代入直线方程，得
即
故直线过定点

[例5]设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率的取值范围；
（2）设直线与轴的交点为P，且，求的值。
解：（1）由C与相交于两个不同的点
故知方程组
有两个不同的实数解，消去并整理得
①
所以
解之，得且
双曲线的离心率
因为且，所以且
即离心率的取值范围为
（2）设
因为，所以
由此得
由于都是方程①的根，且
所以
消去，得
由，所以
[例6]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为。
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求的取值范围。
解析：（1）设双曲线方程为
由已知得，，再由
得，故双曲线C的方程为
（2）将代入
得
由直线与双曲线交于不同的两点得

即且①
设，则，
由得，而

于是，即
解此不等式得②
由①②得
故的取值范围为

[例7]已知常数，向量，，经过定点，以为方向向量的直线与经过定点，以为方向向量的直线相交于点P，其中。
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若，过E（0，1）的直线交曲线C于M、N两点，求的取值范围。
解析：（1）设P点的坐标为，则，
又，
故，
由题知向量与向量平行，故
又向量与向量平行，故
两方程联立消去参数
得点的轨迹方程是
即
（2）∵，故点P的轨迹方程为
此时点E（0，1）为双曲线的焦点。
①若直线的斜率不存在，其方程为，与双曲线交于
此时
②若直线的斜率存在，设其方程为
代入化简得
∵直线与双曲线交于两点
∴且，解得
设两交点为
则，
此时

当时，
故；
当或时，
故
综上所述，的取值范围是

【模拟试题】
一.选择题
1.过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是（）
A. B.
C. D.
2.已知定点A、B，且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是（）
A. B. C. D.5
3.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）
A. B. C. D.
4.设A为双曲线右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点（）
A. B. C.（4，0） D.
5.把曲线