高三数学（文）双曲线部分 知识精讲 人教版.doc

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高三数学（文）双曲线部分知识精讲人教版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
双曲线部分

【典型例题】
[例1]已知椭圆：与双曲线：有公共焦点F1、F2，若两曲线在第一象限内的交点为P，求证：的面积。

证：由
，
且（其中）
设周长的一半为m，则
则
故

另法，

[例2]求以F1（），F2（3，0）为焦点，并与直线有公共点且实轴最长的双曲线的方程。

解：先求F2（3，0）关于直线的对称点

由
又，则
故所求双曲线方程为

[例3]已知A（3，2），M是双曲线H：上的动点，F2是H的右焦点，求的最小值及此时M的坐标。

解：由，则

此时M的坐标（）

[例4]已知双曲线C：，一条长为8的弦AB两端在C上运动，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为。

解：

又，则
当且仅当时，取“=”，由逆径，故可取“=”

又由
即
故M（）

[例5]双曲线中心在原点，一个焦点为F（），直线与其相交于M，N两点，MN中点横坐标为，则此双曲线方程是（）
A. B.
C. D.
解法1：设H：（）
联立

中点条件是
再由焦点条件解出
解法2：由
MN中点在直线上，则中点纵坐标
由
故H：，选D。

[例6]已知A、B是双曲线右支上两点
（1）若AB过右焦点F2，且，求的周长（F1为左焦点）；
（2）若弦AB的中点到y轴的距离为4，求的最大值。
解：（1）因A、B在双曲线右支上，故由双曲线定义可知
，两式相加得
由，即
故，所以
即的周长为

（2）由题设，双曲线中，
设A（），B（），则A，B到右焦点的距离分别为

由弦中点到y轴距离为4，即，则=8
故，故最大值为8，此时AB过焦点F2

[例7]过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。

解：设AB：代入双曲线方程并整理得
（*）
若，不合题意，若，由，得
若P是AB的中点，即
得（舍去）
此时，代入（*）
当不存在时，直线与双曲线只有一个公共点
因此这样的弦AB不存在
另法：设A（），B（），由A、B在双曲线上
两式相减得
，其中
，得
以下同解法1

[例8]双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，，求双曲线的方程。
解：设双：，直线PQ方程为
由，消去得
设P（），Q（）
若，故，则直线PQ与双曲线渐近线平行，与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故
故
由于P、Q在直线上可记为P（），Q（）
由OP⊥OQ，则
整理得
将（*）代入，又由，并整理得
即
由，则
由，得2
整理得将（*）式代入，又
代入，解得，从而，故双曲线方程

[例9]若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足（）
（1）求此双曲线的离心率；
（2）若此双曲线过N（2，），求双曲线方程；
（3）若过N（2，）的双曲线的虚轴端点分别为B1、B2（B1在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程。
解：（1）由知四边形PF1OM为平行四边行
又（）OP平分故PF1OM为菱形
又由，（），则，
故（由）
由（舍）

（2）由，设双曲线方程
其过点N（2，），则
故所求双曲线方程为
（3）依题意得B1（0，3），B2（0，）
由，则共线
不妨设直线AB：，A（），B（）
由
由的渐近线为，当时，AB与双曲线只有一个交点，不合题意，则
，

又，

则
即，故
所以所求直线AB的方程为：或

[例10]求经过定点M（），以y轴为左准线，离心率为2的双曲线右顶点的轨迹方程。

解：设双曲线的右顶点为P（x，y），左焦点为F（）双曲线对称轴
设双曲线的半实轴，半焦距分别为，则离心率
由双曲线的性质，得
又由代入得（*）
由焦点F与准线y轴的距离为
故代入（*）得
，即
由双曲线的定义，有，即
即
又由代入得
即右顶点M的轨迹方程为

[例11]已知抛物线的焦点为F，准线为，是否存在双曲线，同时满足下列条件：①双曲线c的一个焦点为F，相应于F的准线为；②双曲线c截与直线垂直的直线所得的弦长为，并且该线段的中点恰好在直线上，若存在，求出这个双曲线c的方程；若不存在，说明理由。
解法1：如图，设符合条件的双曲线c存在，则其右焦点F（0，0），右准线为，设离心率为e，点P（x，y）为双曲线上任意一点，则由

整理，得①
设与垂直的直线方程为，此直线与双曲线C交于A、B两点，其坐标为
把代入①式整理，得
当时，为方程的两实根

由弦长公式得
故适合条件的双曲线c的方程存在为
即
解法2：设弦AB中点坐标为Q（）由AQ斜率为
故，B（）
又点A、B到直线：的距离为及
由双曲线定义知：
即