高三数学解析几何复习：直线与圆锥曲线人教实验版（B）知识精讲.doc

高三数学解析几何复习：直线与圆锥曲线人教实验版（B）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
解析几何复习：直线与圆锥曲线

二.教学目的
1、了解直线和圆锥曲线的位置关系；
2、掌握解决直线和圆锥曲线的各种位置关系及相关问题的方法与技巧。

三.教学重点、难点
本讲的重点是直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系，直线与抛物线的位置关系，数形结合、分类讨论、方程思想方法的应用．
本讲的难点是弦长问题及中点弦问题．

四.知识分析
【知识梳理】
1、直线和圆锥曲线的位置关系
（1）从几何角度看，可分为三类：相离、相切及相交，具体如下：
①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．
②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示直线与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．
③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．
（2）从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．直线l的方程为（A、B不同时为零）．圆锥曲线方程
由，消元（或），如消去后得
①若，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行（或重合）．
②若，设
（i）时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；
（ii）时，直线和圆锥曲线相切于一点；
（iii）时，直线和圆锥曲线没有公共点．
直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交于不同的两点：
相交不同两点联立方程组有两组不等的实数解二次方程有两个不等实数解判别式大于零．
2、直线和圆锥曲线相交形成的弦长问题
（1）斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用韦达定理，即作如下变形＝．
（2）当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式）．
（3）经过圆锥曲线的焦点的弦（也称焦点弦）的长度．应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．
（4）在给定的圆锥曲线中，求中点为（m，n）的弦AB所在直线方程时，一般可设．利用A，B在曲线上，得及，故可求出斜率，最后由点斜式写出直线AB的方程．

【要点解析】
1、涉及到直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用平方差法找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系．
2、有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：
（1）两点连线与该直线垂直（两直线都有斜率时，斜率互为负倒数）；
（2）中点在此直线上（中点坐标适合对称轴方程）．
3、直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了高中解析几何中直线、圆锥曲线两部分的知识内容，还涉及函数、方程、不等式、三角函数、平面几何等许多知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为解析几何中综合性最强，能力要求最高的内容，也成为高考的重点和热点．

【典型例题】
例1.（直线与圆锥曲线的位置关系）
已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（）。
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围。
解析：（1）设双曲线方程为，
由已知得。
故所求双曲线方程为。
（2）将代入，可得
，
由直线l与双曲线交于不同的两点A，B得
，
故 ①
设，则
，
由，
而
，
于是解此不等式得 ②
由①②得。
点评：在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去或，得到关于或的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形。

例2.（弦长问题）
椭圆相交于A、B，C是AB的中点，若，OC的斜率为，求椭圆的方程。
解法1：设，代入椭圆方程并作差得
而，
，
代入上式可得。
再由，其中是方程的两根，
故
将代入得，
所求椭圆的方程是。
解法2：由得
设，
则

①
设，则
的斜率为。
代入①，得。
椭圆方程为。
点评：解法一利用了设点、代入、作差，借助斜率的解题方法，称作“平方差法”，是解析几何解决直线与圆锥曲线位置关系的常用技巧，应在理解的基础上进行记忆。解法二是圆锥曲线弦长的基本求法，是利用两点间的距离公式求得的，再者就是结合弦所在直线的斜率k，利用弦长与韦达定理结合较简单，如果是焦点弦，可结合圆锥曲线的定义求解。

例3.（对称问题）
已知椭圆，试确定m的取值范围，使得椭圆E上