高三数学解析几何部分复习 椭圆 人教实验版B.doc

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高三数学解析几何部分复习椭圆
一.本周教学内容：
解析几何部分复习：椭圆

二.教学目的
1、掌握椭圆标准方程的两种形式及椭圆的主要基本量。
2、掌握椭圆的几何性质及其应用。

三.教学重点、难点
重点：椭圆标准方程及其应用；椭圆的几何性质及其应用。
难点：椭圆标准方程和几何性质及其应用及解决椭圆问题时所涉及的思想方法。

四.知识分析
【知识梳理】
1、椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

图形

性

质

范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：坐标原点
顶点A1（－a，0），A2（a，0），
B1（0，－b），B2（0，b）A1（0，－a），A2（0，a），
B1（－b，0），B2（b，0）轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c（）离心率其中
准线方程
【要点解析】
1、求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法（先定性，后定形，再定参）．
椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准”，就是椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上．焦点F1，F2的位置决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件；参数a，b决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。对于方程（m＞0,n＞0）若m＞n＞0，则椭圆的焦点在x轴上；若0＜m＜n，则椭圆的焦点在y轴上，焦点位置不明确时，要注意分类讨论。
2、注意椭圆几何性质的挖掘
（1）椭圆中有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点、四个顶点），注意它们之间的位置关系（如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离（如焦点到相应顶点的距离为，到相应准线的距离为等）。
（2）设椭圆方程上任意一点为，则，因为，所以时，有最小值b，这时，P在短轴端点处；当时，有最大值a，这时P在长轴端点A1或A2处。
（3）椭圆上任意一点与两焦点构成的三角形△PF1F2称之为焦点三角形，周长为。
（4）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有。
3、求动点的轨迹方程时，不直接建立间的关系，而是先寻求与中间变量间的关系。利用已知关于间的关系方程得到之间的关系方程，也称为代入法（或相关点法）求轨迹方程。要注意平面向量与椭圆结合的题目，能够根据平面向量的坐标运算解决有关问题。

【典型例题】
例1.一动圆与已知圆：外切，与圆：内切，试求动圆圆心的轨迹方程。
解析：两定圆的圆心和半径分别为（，0），；（3，0），，设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得，。
∴。
由椭圆的定义知：M在以、为焦点的椭圆上，且，。
∴，
故动圆圆心的轨迹方程为。
点评：平面内一动点与两个定点、的距离之和等于常数，当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是线段；当时，轨迹不存在。

例2.求满足下列各条件的椭圆的标准方程。
（1）长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；
（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
（3）经过点P（，1），Q（，）两点；
（4）与椭圆有相同离心率且经过点。
解析：（1）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为
∵椭圆过点A（3，0），∴，a=3，
∵，∴，
∴方程为。
若椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，
∵椭圆过点A（3，0），∴，
∴，，∴，
∴方程为。
综上所述，椭圆方程为或1。
（2）由已知，∴。从而，
∴所求椭圆的标准方程为或。
（3）设椭圆的标准方程为，
点P（，1），Q（，）在椭圆上，
代入上述方程得，
解得，∴。
（4）由题意，设所求椭圆的方程为，
因为椭圆过点（2，），
所以，
故所求椭圆标准方程为。
点评：在求椭圆的标准方程时，会遇到焦点位置不确定而有两种结果的情况，这时应注意分类讨论．仔细体会（1）、（2）两小题中的答案可见，（1）中两个椭圆不仅焦点位置不同，而且椭圆大小形状也不一样，而（2）中两个椭圆只是焦点位置不同，大小形状一样，像（2）小题中的情形，可先求出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，然后把x，y交换即可得焦点在y轴上的椭圆方程，但（1）小题是不可以的，要注意区别．由于分类讨论较复杂，因此在处理椭圆焦点位置不确定的情况时，有时可直接设椭圆方程为＝1或由已知条件设椭圆系方程（）来求解，如（3）、（4）两小题，这样可避免讨论和复杂的计算。

例3.已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。
解析：椭圆方程可化为。
∵，∴。
即，，。
由，得，∴。
∴椭圆的标准方程为。
∴，，。
∴椭