（新课标）高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积 理-人教版高三全册数学试题.doc

第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积

空间几何体的三视图
【教师备用】若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(B)

解析:由题意知,选项A,C中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项D中所给几何体的侧视图不符合要求.故选B.
1.(2014福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(A)
(A)圆柱 (B)圆锥
(C)四面体 (D)三棱柱
解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.
故选A.
2.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为(D)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥ABCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选D.

3.(2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)

(A)①和② (B)③和① (C)④和③ (D)④和②
解析:在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选D.

空间几何体的表面积与体积
4.(2015新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(D)

(A) (B) (C) (D)
解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截去了正方体的一个角.设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为V1=××1×1×1=,故剩余部分的体积为V2=,
所求比值为=.
5.(2015大庆市二检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A)

(A)32+4π (B)24+4π
(C)12+ (D)24+
解析:该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为2,2,3,球的半径为1,故其表面积为2×2×2+2×3×4+4×π×12
=32+4π,故选A.
6.(2015河北沧州质检)已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则其俯视图的面积为(B)

(A)π+2 (B)2π+4
(C)2π+6 (D)π+4
解析:三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥,
因为V=××πa2×4+××2a×a×4
=a2(π+2)=,
所以a2=4,所以俯视图的面积为πa2+·2a·a=2π+4,故选B.
多面体与球的切接问题
【教师备用】(2015东北三校联合二模)一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为(B)

(A)16π (B)9π (C)4π (D)π
解析:由三视图可知立体图形如图所示.

由三视图知顶点A在底面BCD上的射影E为BD中点,AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2,
设O为外接球球心,AO=R,OE=2-R,
则AB==,
在Rt△BOE中R2=(2-R)2+()2,得R=,
因为S=4πR2,
所以此三棱锥外接球的表面积为9π.
【教师备用】(2015甘肃兰州第二次监测)已知长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上,若球O的表面积为16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,则球心O到平面ABCD的距离为(B)
(A)1 (B) (C) (D)2
解析:设外接球O的半径为R,则4πR2=16π,
所以R=2,
由题意知长方体的对角线为球的直径,
又AB∶AD∶AA1=∶1∶2,
设AD=x,AB=x,AA1=2x,
则x2+(x)2+(2x)2=42,
解得x=,
球心O到平面ABCD的距离为AA1=x=,选B.
7.(2015江西上饶三模)从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP=,则球的体积为(C)
(A) (B) (C) (D)
解析:设OP交平面ABC于O′,

由题得△ABC和△PAB为正三角形,
所以O′A=AB=AP,
因为AO′⊥PO,OA⊥PA,
所以=,=,=,
所以OA==×=1,
即球的半径为1,
所以其体积为π×13=π.选C.
8.(2015东北三校第一次联合模拟)三棱柱ABCA1B1C1各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2,AA1=4,则这个球的表面积为.
解析:在△ABC中,∠ACB=120°,CA=CB=2,
由余弦定理可