高中数学一道数列求和的多种解法学法指导.doc

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一道数列求和的多种解法
王红霞

题目：一等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和为多少？
解法1：将代入公式得：

解得
再代入，得。
点评：本解法思路自然，是一种常规方法，但运算量较大。
解法2：
。
由上面①②得，于是。
点评：通过巧妙建立之间的关系求解，显然直观明了。
解法3：利用整体观点解题。
由，要求，只需求。
由上面，于是。
解法4：利用数列为等差数列解题。
将代入。
。
解法5：由。
上的一串点，显然（10，10），（100，），（110，）共线，得。
点评：将，并联想到直线方程解题，有效地培养了发散思维能力。
解法6：利用等差数列依次每k项之和仍成等差数列的性质解题。
在上述性质中取，数列③成等差数列。设这个数列③的公差为D，考虑前10项之和。
数列③的第11项。
可得。
解法7：上面数列③中利用性质：对于等差数列，。
上面数列③的前10项之和，而的前9项之和。
由上述性质得，所以，注意到也是上面数列③中的项，得，即有。
解法8：上面数列③中利用性质：对于等差数列，。

点评：通过对此题的多种解法的探究，不仅能检查对等差数列基础知识的掌握程度，而且能揭示等差数列的内在本质属性，多方位地培养大家的发散思维能力。