高三数学（理）直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角 知识精讲 人教版.doc

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高三数学（理）直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角知识精讲人教版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角

二.本周教学重、难点：
1.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
2.掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。

【典型例题】
[例1]如图所示，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。
（1）求二面角的大小；
（2）M为棱上的一点，当的值为多少时，能使平面EFB1？请给出证明。

解：（1）在底面AC中∵AC⊥BD，EF//AC
∴BG⊥EF，连结B1G又∵B1B⊥底面AC∴B1G⊥EF
是二面角的平面角

∴二面角的正切值为
∴二面角的大小为
（2）当时能使平面EFB1
证明如下：面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M
∵∴
而∴
∴，因此同理，
∴平面EFB1

[例2]如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。

证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC
则NO//PA，又PA⊥平面ABCD
∴NO⊥平面ABCD∴NO⊥CD，又MO⊥CD
∴CD⊥平面MON∴CD⊥MN
在中，∴PA=AD
又∵AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM∴
∴PM=MC∵N为PC的中点∴MN⊥PC
又∴MN⊥平面PCD

[例3]如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=，AD=BC=，，，将其沿对角线BD折成直二面角。
（1）证明AB⊥平面BCD；
（2）证明平面ACD⊥平面ABD；
（3）求二面角的大小。

解析：（1）证明：在中，由余弦定理，得

∴
∴
又∵二面角为直二面角，平面ABD，DB=平面平面BDC
∴AB⊥平面BDC
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC⊥BD∵AB⊥平面BDC，AB平面ABD
∴平面ABD⊥平面BDC
又∵BD=平面平面BDC，DC平面BDC，DC⊥平面ABD
又∵DC平面ADC∴平面ADC⊥平面ABD
（3）作BQ⊥CE于Q，由平面几何知识，得
连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE∴是二面角的平面角
在中，
∴即二面角的大小为

[例4]如图所示，ABCD是正四面体，E、F分别是BC和AD的中点，求：
（1）AE与CF所成的角；
（2）CF与平面BCD所成的角。

解：（1）如图，连结DE，取ED的中点K，连结FK、CK
∵F是AD的中点
∴AE//FK则为异面直线AE与CF所成的角（或其补角）
设正四面体棱长为，则可得
在中，
∴在中，
∴，即异面直线AE和CF所成角为

（2）在正四面体ABCD中，∵各棱长都相等，E是BC的中点
∴BC⊥AE，BC⊥DE∴BC⊥面AED∴面ADE⊥面BCD，交线为DE
过A作AO⊥DE于O，则AO⊥面BCD
过F作FH⊥DE于H，则FH⊥面BCD，连结CH
∴为CF与面BCD所成的角
∵∴
故CF与面BCD所成的角为

[例5]在三棱锥中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB=，。
（1）求证：SC⊥平面BDE；
（2）求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小。

解：（1）证明：∵SA⊥平面ABC，AB、AC、BD平面ABC
∴SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD∴
∵∴SB=BC∵E为SC的中点∴BF⊥SC
又DE⊥SC∴SC⊥平面BDE
（2）由（1）的结论及平面BDE，得BD⊥SC，再由①得BD⊥平面SAC，而CD、DE平面SAC，∴BD⊥CD、BD⊥DE
∴为平面BDE与平面BDC所成的二面角的平面角
由AB⊥BC，得
在中，
∴∴

[例6]如图所示，矩形ABCD中，PD⊥平面ABCD，若PB=2，PB与平面PCD所成的角为，PB与平面ABD成角。
（1）求CD的长；
（2）求PB与CD所成的角；
（3）求二面角的余弦值。

解：（1）∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又BC⊥DC
∴BC⊥平面PDC∴为PB与平面PCD所成的角，即
同理，即为PB与平面ABD所成的角
∴在中，∵PB=2∴BC=PC=
在中，∴PD=1，BD=
在中，∴CD=1
（2）∵AB//CD∴PB与CD所成的角即为PB与AB所成的角，即为PB与AB所成的角。
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB∴PA⊥AB
在中，AB=CD=1，PB=2∴
（3）由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF
∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CE又CE⊥BD∴CE⊥平面PBD
CF为平面PBD的斜线，