高三数学（文）双曲线复习（一）知识精讲 人教版.doc

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高三数学（文）双曲线复习（一）知识精讲人教版

一.本周教学内容：
双曲线复习（一）

（一）双曲线的基础知识
名称双曲线1.定义（）2.标准方程焦点在轴上：
焦点在轴上：3.图形4.范围；5.对称性将M（）的对称点坐标（）；（）；（）代入原方程，原方程不变6.顶点、准线顶点：
实轴：；虚轴：
准线：7.渐近线（1）记忆：
（2）有共同渐近线的双曲线系：
（3）共轭双曲线：
（4）等轴双曲线：；8.离心率9.统一定义
【典型例题】
[例1]求与两个定圆C1：和C2：都相切的动圆的圆心的轨迹方程。
解：⊙C1：
⊙C2：
设动圆圆心为M（），半径为R
（1）如图1，当⊙M与⊙C1、⊙C2都外切时，有，
则

图1
（2）如图2，当⊙M与⊙、⊙都内切时，有
则

图2
在（1）（2）两条情况下，点M与两定点C1、C2的距离的差的绝对值是6，由双曲线的定义，点M的轨迹是以C1（），C2（5，0）为焦点实轴长为6的双曲线，
，方程为：
（3）如图3，当⊙M与⊙C1外切，与⊙C2内切时，有

图3
（4）如图4，当⊙M与⊙C1内切，与⊙C2外切时，有

，同理双曲线方程为

图4
综上，所求动点轨迹方程为或
注意：
（1）涉及平面上到两定点距离之和或差的绝对值用椭圆或双曲线定义来解题。
（2）涉及平面上到定点和定直线距离之比用圆锥曲线，椭圆，双曲线，抛物线的定义来解题。

[例2]已知双曲线的左、右焦点为F1、F2，点P在双曲线上，，求的面积S。

解：设，，在中，由余弦定理，有

即

进一步由
注意：
椭圆中，

双曲线中

[例3]设A、B是双曲线右支上两点，、分别是左、右焦点。
（1）若AB过F2，且，求的周长；
（2）若弦AB的中点到轴的距离为4，求的最大值。
解：
（1）由A、B在双曲线的右支上，故由双曲线的定义两式相加，得
，又
故，则周长为
（2）设A（），B（），由焦半径公式
，而双曲线方程为
则，由已知
又
故，此时AB过焦点F2

[例4]焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，过它的右焦点F2且倾斜角为的直线与双曲线交于A、B两点，且AB的中点M到双曲线的左准线的距离为。
（1）求双曲线的方程；
（2）F1是双曲线的左焦点，求的周长。
解：
（1）

双曲线左准线方程：即
由已知
则，故双曲线方程为
（2）
的周长

[例5]若直线与平分等轴双曲线的斜率为2的弦的轨迹有交点，求的取值范围。
解：如图，设双曲线斜率为2的弦的两个端点M（），N（）（）
MN中点为P（）则相减
又，，代入得
故由或
故直线与双曲线的两个交点为E（），H（）
所以P点的轨迹为（或）
直线为过定点D（0，）斜率的直线
又由，，
则当或
即或时直线与P点轨迹有交点

[例6]已知双曲线，、是左、右焦点，P是它左侧分支上一点，P到左准线距离为。
（1）若双曲线的一条渐近线为，是否存在点P1使、、成等比数列。
（2）在已知双曲线的左支上，使、、成等比数列的点P存在时，求离心率的取值范围。
解：
（1）由渐近线为离心率
假设存在点P（）使、、成等比数列，即
由双曲线第二定义，故上式即
又
代入上式得
整理得，把代入得由
故双曲线上存在点P（）满足条件
（2）存在点P（）满足条件
1
故满足条件的离心率的取值范围是

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1.若双曲线的两条渐近线是，焦点，，则它的两条准线间的距离是（）
A.B.C.D.
2.双曲线的两焦点F1、F2，弦AB过点F1（AB在左支上），，则的周长为（）
A.B.C.D.
3.若双曲线上一点P到它的左焦点距离是24，则P到右准线的距离是（）
A.32或B.32或C.D.32
4.设双曲线（）的半焦距为，直线过（），（）两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为。
5.双曲线上有点P，是双曲线的焦点，且，则的面积为。
6.双曲线的离心率为，、为焦点，P在双曲线上且的面积为，又，则双曲线方程是。
7.过双曲线的右焦点F2作倾斜角为的直线，它们的交点为A、B，求：
（1）线段AB的中点M与的距离；（2）线段AB的长度。

[参考答案]
1.A2.B3.B4.25.6.
7.解：
（1）
则
另法，由，下略
（2）由，则A、B分别在双曲线两支上

也可以