2008高考数学总复习 直线与圆的位置关系.doc

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2008高考数学总复习直线与圆的位置关系

●知识梳理
直线和圆
1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.
①Δ＞0，直线和圆相交.
②Δ=0，直线和圆相切.
③Δ＜0，直线和圆相离.
方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①d＜R，直线和圆相交.
②d=R，直线和圆相切.
③d＞R，直线和圆相离.
2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.
3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.
●点击双基
1.（2005年北京海淀区期末练习题）设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为
A.相切B.相交
C.相切或相离D.相交或相切
解析：圆心到直线的距离为d=，圆半径为.
∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
答案：C
2.圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于
A.B.C.1D.5
解析：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.
答案：A
3.（2004年全国卷Ⅲ，4）圆x2+y2－4x=0在点P（1，）处的切线方程为
A.x+y－2=0B.x+y－4=0
C.x－y+4=0D.x－y+2=0
解法一：
x2+y2－4x=0
y=kx－k+
x2－4x+（kx－k+）2=0.
该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=.
∴y－=（x－1），即x－y+2=0.
解法二：∵点（1，）在圆x2+y2－4x=0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.
又∵圆心为（2，0），∴·k=－1.
解得k=，∴切线方程为x－y+2=0.
答案：D
4.（2004年上海，理8）圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.
解析：∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），
∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上.
又已知圆心在直线2x－y－7=0上，
解得x=2，
∴联立
y=－3，
2x－y－7=0.
∴圆心为（2，－3），
半径r=|AC|==.
∴所求圆C的方程为（x－2）2+（y+3）2=5.
答案：（x－2）2+（y+3）2=5
5.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.
解析：利用数形结合.
答案：－1＜k≤1或k=－
●典例剖析
【例1】已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
剖析：由于OP⊥OQ，所以kOP·kOQ=－1，问题可解.
解：将x=3－2y代入方程x2+y2+x－6y+m=0，得5y2－20y+12+m=0.
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件
y1+y2=4，y1y2=.
∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3－2y1，x2=3－2y2，
∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2.
∴m=3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－，3），半径r=.
评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.
【例2】求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.
剖析：根据已知，可通过解方程组
得圆上两点，
（x+3）2+y2=13，
x2+（y+3）2=37
由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；
也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程.
解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，
所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0.
展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.
圆心为（－，－），代入方程x－y－4=0，得λ=－7.
故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2=.
评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公