2008高考数学总复习 函数的单调性.doc

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2008高考数学总复习函数的单调性

●知识梳理
1.增函数、减函数的定义
一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.
如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.
2.函数单调性可以从三个方面理解
（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.
（3）定量刻画，即定义.
上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.
●点击双基
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是
A.y=－x+1 B.y=
C.y=x2－4x+5 D.y=
答案：B
2.函数y=loga（x2＋2x－3），当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是
A.（－∞，－3） B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）
解析：当x=2时，y=loga5＞0，∴a＞1.由x2＋2x－3＞0x＜－3或x＞1，易见函数t＝x2＋2x－3在（－∞，－3）上递减，故函数y=loga（x2＋2x－3）（其中a＞1）也在（－∞，－3）上递减.
答案：A
3.（2003年北京朝阳区模拟题）函数y=log|x－3|的单调递减区间是__________________.
解析：令u=|x－3|，则在（－∞，3）上u为x的减函数，在（3，+∞）上u为x的增函数.又∵0＜＜1，∴在区间（3，＋∞）上，y为x的减函数.
答案：（3，+∞）
4.有下列几个命题：
①函数y=2x2+x+1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是［－2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）.其中正确命题的序号是___________________.
解析：①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x－x2≥0，解得－1≤x≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f（x）在R上是增函数，且a＞－b，∴b＞－a，f（a）＞f（－b），f（b）＞f（－a），f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b），因此④是正确的.
答案：④
●典例剖析
【例1】如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.
剖析：由于f（2）=22－（a－1）×2+5=－2a+11，求f（2）的取值范围就是求一次函数y=－2a+11的值域，当然就应先求其定义域.
解：二次函数f（x）在区间（，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是≤，解之得a≤2，故f（2）≥－2×2+11=7，即f（2）≥7.
【例2】讨论函数f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性.
解：设－1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）－f（x2）=－
==.
∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2+1＞0，（x12－1）（x22－1）＞0.又a＞0，∴f（x1）－f（x2）＞0，函数f（x）在（－1，1）上为减函数.
【例3】求函数y=x+的单调区间.
剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：
（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）－
f（x1）的正负.
解：首先确定定义域：{x|x≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=x2+－x1－=（x2－x1）+=（x2－x1）（1－），要确定此式的正负只要确定1－的正负即可.
这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0，1）与（1，+∞）