数学苏教版选修1-1 直线与圆锥曲线的位置关系.doc

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直线与圆锥曲线的位置关系
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；
2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题;
3．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；
4．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法.
二、命题落点
1．考查直线与椭圆相切、直线方程、直线到直线的距离等知识，如例1;
2．考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定,如例2;
3．考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，如例3.
【典例精析】

例1：设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析:如右图,根据题意易得
与关系O对称

设过圆上一点且平行与的直线方程为
联立得：
若与椭圆相切则可求得：
即,到的最小距离为①
到的最大距离为②
，（为P到AB的距离），，．
由①②式可知满足条件的点有两个.
答案:B
例2：若直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,则m,n满足的关系式为_______;以(m,n)为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆eq\f(x2,7)+\f(y2,3)=1的公共点有____个.
解析:∵直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,∴eq\f(3,\r(m2+n2))>eq\r(3),解得0<m2+n2<3.
∴eq\f(m2,7)+\f(n2,3)<\f(m2,3)+\f(n2,3)<1,即点P(m,n)在椭圆内部,故过P的直线必与椭圆有两个交点.
答案:0<m2+n2<3,2.
例3.已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且=时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
解析：（1）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，
由题意知：即动点到定点
与定直线的距离相等
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，
其中为焦点，为准线
∴轨迹方程为；
（2）如图，设，由题意得
又直线OA、OB的倾斜角、满足+=，故0<，<．
∴直线的斜率存在，否则OA、OB直线的倾斜角之和为，从而设其方程为．
显然．
将与联立消去，得．
由韦达定理知．(*)
由，得==．
将(*)式代入上式整理化简可得：，
此时，直线的方程可表示为即，
∴直线恒过定点．
【常见误区】
1．注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系;
2．考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.向量的知识考生常不能灵活应用。
【基础演练】
1．椭圆eq\f(x2,4)+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则= （）
A．eq\f(\r(3),2) B．eq\r(3) C．eq\f(7,2) D．4
2．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 （）
A．[-eq\f(1,2),eq\f(1,2)] B．[-2,2] C．[-1,1] D．[-4,4]
3．已知双曲线且与双曲线有且仅有一个公共点的直线的条数为有 （）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．双曲线=1(a＞0,b＞0)的两焦点为F1、F2,|F1F2|=2c,P为双曲线
上一点,PF1⊥PF2,则P到实轴的距离等于 （）
A． B． C． D．

5．如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线段与抛物线y=x2-2x-3没有交点,那么实数a的取值范围是.
6对任意实数k,直线：与椭圆：恒有公共点,则b取值范围是.
7．设双曲线C：eq\f(x2,a2)-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围;
（2）设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.
8．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不