直线与圆锥曲线的位置关系.doc

直线与圆锥曲线的位置关系
基础梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
双基自测
直线y＝kx－k＋1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系为
2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的条件

3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋eq\r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
4．(2012·成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为
5．(2011·泉州模拟)y＝kx＋2与y2＝8x有且仅有一个公共点，则k的取值为
考向一直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是

【训练1】若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数是

考向二弦长及中点弦问题
【例2】►若直线l与椭圆C：eq\f(x2,3)＋y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为eq\f(\r(3),2)，求△AOB面积的最大值．

【训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2eq\r(2)，OC的斜率为eq\f(\r(2),2)，求椭圆的方程．

考向三圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题
【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．
(1)求过点O、F，并且与直线l：x＝－2相切的圆的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

考向四定值(定点)问题
【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A(－1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当|CD|＝eq\f(3,2)eq\r(2)时，求直线l的方程．
(2)当点P异于A、B两点时，求证：Oeq\o(P,\s\up6(→))·Oeq\o(Q,\s\up6(→))为定值．

直线与圆锥曲线的位置关系巩固练习
一、填空题
1.（泰州市2011届第一次模拟1）若双曲线的离心率是.
2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=.
3.(徐州市2011第三次调研改编)与双曲线共渐近线且经过点M(3，-2)的双曲线方程为.
4.（2010年高考江苏卷试题6）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________.
5.(2011海淀区模考3)已知抛物线，过点P（1，0）的直线