苏教版高中数学必修5正弦、余弦定理的应用2.doc

用心爱心专心

正弦、余弦定理的应用
教学目标
（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；
（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；
（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.
教学重点，难点
能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
教学过程
一．问题情境
1．复习引入
总结解斜三角形的要求和常用方法.
（1）．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边，求其它两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.
（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：
①已知三边求三内角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.
二．学生活动
引导学生回忆上节课内容，总结利用两个定理解决实际问题的一般步骤.想一想可以用这两个定理来解决有关物理问题和几何问题吗？
三．数学运用
1．例题：
例1．如图，在四边形中，已知,，
,,，求的长.
解：在中，设，
则，
即，
图1-3-3
∴，
∴，（舍去），
由正弦定理：，
∴．
例2．作用在同一点的三个力平衡.已知，
，与之间的夹角是，求的大小与方向
（精确到）.
解：应和合力平衡，所以和在同一直线上，
并且大小相等，方向相反.
如图1-3-3，在中，由余弦定理，得

.
再由正弦定理，得
，
所以，从而.
答为，与之间的夹角是.
本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：
由图根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出.
例3．如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？
分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.
解：设.在中，由余弦定理，得
.
于是，四边形的面积为

图1-3-4

.
因为，所以当时，，即时，四边形的面积最大.
对于本例，教学中可引导学生分析得到四边形的面积随着的变化而变化.这样将四边形的面积表示成的函数，利用三角形的有界性求出四边形面积的最大值.
例4．中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，①求最大角的余弦值；②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.
解：①设三边，且，
∵为钝角，∴，解得，
∵，∴或，但时不能构成三角形应舍去，
当时，；
②设夹角的两边为，，
所以，，当时，．
2．练习：
1．书上练习第2题，习题1.3第1题.
2．在中，已知，求的最大内角；
第4题
3．已知的两边是方程的两个根，的面积是，周长是
，试求及的值；
4．如图，，，，，，求的长.
（答案：）

四．回顾小结：
1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；
2．由于有三角形面积公式，解题时要时刻与三角形面积与三角形外接圆直径联系在一起；
3．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式；
4．在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，再合理使用正弦定理或余弦定理解决.