初中数学巧用面积比 妙解几何题 学法指导 不分版本试卷.doc

初中数学巧用面积比妙解几何题
用三角形面积比可以解决一类几何问题，解法很有独到之处，现举例如下：
例1.如图1，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，则S△CDE等于（）

图1
A. B. C. D.2
解法1：因为AD∥CE，
所以∠A＝∠CEB
因为DE∥BC
所以∠AED＝∠B
△ADE∽△ECB
，

得
故选C。
解法2：也可用同底的△DEC与△BCE（同底为CE）
，

解法1的关键是△DCE与△BCE等高（平行线DE、CB之间的距离）。
解法2的关键是同底。
例2.如图2所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2。若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）

图2
A.6 B.8 C.10 D.12
（04年初数竞）
解法1：由DE∥AB∥FG知，

图3
△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，
所以＝，
所以
又由题设知，，
所以，
，
故FD＝DC
于是，

以上是由DE∥AB∥FG，及相似三角形对应高的比等于相似比，把FG到DE、AB的距离之比1：2，转到DF：AF＝1：2，从而知△CDE和△CFG边长的相似比为1：2。
解法2：因为DE∥AB∥FG，
所以△CDE∽△CAB

于是
作梯形ABGF的中位线KH，由题设知
所以DF＝FK＝AK，
CD＝DF

于是
以上是由FG到DE、AB的距离之比为1：2，作梯形ABGF的中位线KH，从而知D是AC的四等分点。得到△CDE和△CFG的相似比。
例3.如图4所示，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE、△EFC、△DBG的面积分别为1、2.8和1.2，求平行四边形DEFG的面积。
（05年芜湖中考）

图4
解：过D作DH∥CE交BC于点H，
由DE∥HC，DH∥EC，
可知四边形DECH为平行四边形。
因为DH＝EC，
所以△DGH≌△EFC，
即S△DGH＝S△EFC，
于是S△BDH＝4
因为DH∥AE，DE∥BH，
故△ADE∽△DBH
则

于是
从而S平行四边形DEFG＝S△ABC－S△ADE－S△EFC－S△DBG
＝9－1－2.8－1.2＝4
这是由DE∥BC，及等高的两个三角形的等积变形，再转化到两个三角形的相似。
例4.如图5所示，△ABC的外接圆O的直径BE交AC于点D，已知弧BC＝120°，cotC＝。则关于x的一元二次方程根的情况是（）

图5
A.没有实数根B.有两个相等的正实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的正实数根
（99年绍兴中考）
解：连结AE，
因为＝120°
所以∠BAC＝60°
因为BE是⊙O的直径，
所以∠BAE＝90°，∠DAE＝30°
由三角形的面积比，得

又，
所以，
因为，
从而DE＝BD
△＝

而

可知方程有两个不相等的正实数根。
故选D。
以上是从不同的角度求两个三角形的面积比，以此为桥梁，解决问题。
［练习］
1.如图6所示，已知P是△ABC内一点，求证。

图6
提示：从A、P作BC的垂线利用面积证题法。
2.如图7所示，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧BC的中点，连AD并延长与过C的切线交于P，AD与BC交于E，求证。

图7