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数形结合思想在函数中的应用
所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．
一、“形”到“数”的思想应用
例1小明同学骑自行车去效外春游，图1表示他离家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的关系图象．
（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时时离家多远？
（3）求小明出发多少时间距家12千米？
解：（1）由图象知离家最远30千米需要3小时．
（2）线段CD的函数关系式为y=15x-15（2≤x≤3），当x=2.5时，y=15×2.5－15＝22.5（千米）．
所以小明出发2.5小时时，离家22.5千米．
（3）小明距家12千米时应在OB线段或EF线段，线段OB函数关系式为y=15x（0≤x≤1），线段EF函数关系式为y=-15x+90（4≤x≤6）．
当y=12时，有15x=12，-15x+90=12．
解得或．
所以小明出发小时，或小时，离家12千米．
二、“数”到“形”的思想应用
例2某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）之间函数关系用图象表示是（）

解：（B）、（C）显然不符合，比较（A）和（D），发现（A）爬山高度超过3千米，所以选（D）．
三、数形结合思想应用
例3如图2，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y（千米）随时间x（分）的变化图象（全程），根据图象回答下列问题．
（1）求比赛开始多少分钟两人第一次相遇；
（2）求这次比赛全程是多少千米？
（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇；
解：（1）由图象知第一次相遇在AB段且距出发地6千米．
线段AB的一次函数关系式为．
当时，x=24（分）．
第一次相遇时间为24分钟．
（2）由（1）知，线段OD过点（24，6），
所以OD的一次函数关系式为．
当x=48时，（千米）．
所以比赛全程为12千米．
（3）由图象知第二次相遇在BC段，
线段BC的一次函数关系式为．
线段BC与OD交点为方程组的解．
解得．
所以第二次相遇在第38分钟．
数学家华罗庚说过：数形结合千般好，数形分离万事休．数形结合思想是一种重要思想方法，请同学们一定留意它在数学中的应用．