数形结合思想在函数中的应用.doc

数形结合思想在函数中的应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．一、“形”到“数”的思想应用例1小明同学骑自行车去效外春游，图1表示他离家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的关系图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时时离家多远？（3）求小明出发多少时间距家12千米？解：（1）由图象知离家最远30千米需要3小时．（2）线段CD的函数关系式为y=15x-15（2≤x≤3），当x=2.5时，y=15×2.5－15＝22.5（千米）．所以小明出发2.5小时时，离家22.5千米．（3）小明距家12千米时应在OB线段或EF线段，线段OB函数关系式为y=15x（0≤x≤1），线段EF函数关系式为y=-15x+90（4≤x≤6）．当y=12时，有15x=12，-15x+90=12．解得或．所以小明出发小时，或小时，离家12千米．二、“数”到“形”的思想应用例2某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）之间函数关系用图象表示是（）解：（B）、（C）显然不符合，比较（A）和（D），发现（A）爬山高度超过3千米，所以选（D）．三、数形结合思想应用例3如图2，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y（千米）随时间x（分）的变化图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）求比赛开始多少分钟两人第一次相遇；（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇；解：（1）由图象知第一次相遇在AB段且距出发地6千米．线段AB的一次函数关系式为．当时，x=24（分）．第一次相遇时间为24分钟．（2）由（1）知，线段OD过点（24，6），所以OD的一次函数关系式为．当x=48时，（千米）．所以比赛全程为12千米．（3）由图象知第二次相遇在BC段，线段BC的一次函数关系式为．线段BC与OD交点为方程组的解．解得．所以第二次相遇在第38分钟．数学家华罗庚说过：数形结合千般好，数形分离万事休．数形结合思想是一种重要思想方法，请同学们一定留意它在数学中的应用．