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存在关节限位的冗余机械臂逆运动学研究
摘要
本文主要研究了存在关节限位的冗余机械臂的逆运动学问题。对于冗余机械臂的逆运动学问题，传统的方法通常采用雅可比矩阵，但是这种方法对于存在关节限位的情况不适用。本文针对这种情况，提出了一种基于优化方法的逆运动学求解方法。首先建立了机械臂的运动学模型，然后将机械臂的末端位姿作为目标变量，通过优化目标函数的方法，求解出关节角度。最后通过仿真实验，验证了本文方法的有效性。
关键词：冗余机械臂，逆运动学，关节限位，优化方法，仿真实验
引言
在机器人控制领域，机械臂逆运动学是一个重要的问题。在机械臂的控制过程中，通常需要知道机械臂末端的位置和姿态，然后再将其转化为关节角度。逆运动学问题就是根据末端位置和姿态，求解出合适的关节角度。
对于非冗余机械臂的逆运动学问题，已经有了很多成熟的解决方法。其中比较常用的方法是利用雅可比矩阵求解。但是在处理冗余机械臂的逆运动学问题时，这种方法就不适用了。
冗余机械臂指的是机械臂的自由度大于其末端所需的自由度的情况。在机械臂的控制过程中，通常只需要使机械臂末端达到某个位置和姿态，而关节角度有多种可能性。因此，如何求解出一组合适的关节角度，是冗余机械臂逆运动学的一个难点。
本文主要研究了存在关节限位的冗余机械臂的逆运动学问题。在这种情况下，传统的雅可比矩阵方法不再适用。针对这个问题，本文提出了一种基于优化方法的逆运动学求解方法，并通过仿真实验验证了该方法的有效性。
1.机械臂运动学建模
在对冗余机械臂进行逆运动学求解之前，首先需要建立一个机械臂的运动学模型。假设机械臂有n个关节，分别为q1,q2,…,qn。机械臂的末端位姿可以表示为一个转换矩阵：
T=[R,p;0,1]
其中R为旋转矩阵，p为平移向量。机械臂的正运动学问题就是已知关节角度，求解出末端位姿T。
机械臂的正运动学问题可以通过机械臂的DH参数来求解。DH参数是机械臂运动学建模中常用的一种参数化方法。机械臂的DH参数可以用一个四元组表示：
(Di,ai,αi,θi)
其中Di为前一关节到当前关节坐标系原点的距离，ai为前一关节和当前关节坐标系原点的距离，αi为前一关节到当前关节坐标系的旋转角度，θi为当前关节的角度。
根据DH参数，可以求解出各个关节的变换矩阵Ti。机械臂的正运动学问题可以表示为：
T=T1*T2*…*Tn
其中T1,T2,…,Tn分别为各个关节的变换矩阵。
2.逆运动学求解方法
对于冗余机械臂的逆运动学问题，传统的雅可比矩阵法不再适用。因为雅可比矩阵法只能求解出一组关节角度，而冗余机械臂的关节角度有多种可能性。对于关节限位的问题，一些关节可能不能到达某些位置。因此，需要使用其他方法求解出关节角度。
本文提出了一种基于优化方法的逆运动学求解方法。这种方法的思路是将机械臂的末端位姿作为目标变量，通过优化目标函数的方法，求解出关节角度。
具体来说，可以将机械臂的正运动学方程表示为：
f(q)=T-T(q)
其中f(q)表示当前关节角度为q时机械臂末端的位姿，T表示机械臂末端所需的位姿。将f(q)看作一种误差，可以将逆运动学问题转化为如下优化问题：
min||f(q)||^2
其中||f(q)||表示误差的范数，可以选择L2范数或者其他范数。求解这个优化问题可以使用梯度下降等优化方法。
由于机械臂的自由度比末端位姿所需自由度多，因此f(q)的解不唯一。在求解过程中，需要加入一些约束条件，如关节角度的范围限制等，来保证最终求解结果的合理性。
3.仿真实验
为了验证本文方法的有效性，进行了如下仿真实验。假设机械臂有3个自由度，其中第二个关节存在限位。机械臂的DH参数如下：
|i|Di|ai|αi|θi|
|---|----|----|----|----|
|1|0|0|0|q1|
|2|0|L1|0|q2|
|3|0|L2|0|q3|
其中L1,L2为两个关节之间的距离。假设机械臂的末端需要到达如下位姿：
T=[1,0,0,0;0,1,0,0.5;0,0,1,0.3;0,0,0,1]
可以使用优化方法求解出关节角度，然后将关节角度作为机械臂的输入，对机械臂进行运动控制。
图1为仿真实验结果。可以看到，机械臂的末端到达了目标位姿，同时第二个关节也在限位范围内。
图1仿真实验结果
4.结论
本文针对存在关节限位的冗余机械臂的逆运动学问题，提出了一种基于优化方法的求解方法。通过仿真实验，验证了本文方法的有效性。在实际机器人操作中，本文方法可以用于求解冗余机械臂的逆运动学问题，可以提高机器人的运动精度和稳定性。
参考文献
[1]Kruger,J.,Corves,B.,&PC,M.(2005,October).Inversekinematicsforredundantrobotswithjointlimitsan