有限元方法.ppt

有限元方法2345678910111213(7.11)(7.16)于是有(7.17)从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，的计算，实际上是把中四个元素在适当的位置上“对号入座”地叠加，的计算也是如此．我们引入，只是为了叙述方便，实际上，在编制程序时并不需要．显然，方程组(7.18)的系数矩阵是对称正定的三对角矩阵，因此可采用追赶法求出在节点上的近似值.1920与容易看出，方程组(7.20)的系数矩阵就是总刚度矩阵．在总刚度矩阵形成的过程中，注意到
(7.21)
而

从而有

即

故有

这就是有限元方程(7.18).
由上述看出，按Galerkin法推导有限元方程更加直接方便．尤其重要的是．按这一观点推导的有限元方程，不仅适用于定常的微分方程定解问题，而且也适用于不定常的微分方程定解问题，因此具有广泛的适应性．

例7.1用有限元方法解边值问题

将区间[0,1]等分成4个单元.

解利用上述分析结果，我们只需构造出单元刚度矩阵和单元荷载向量，然后合成为总刚度矩阵和总荷载向量．注意到(7.13)和(7.15)，并将形成单元
上的中点值则不难得到

其中，，单元的中点为
于是有
如果把单元刚度矩阵和单元荷载向量“扩大”，便得到和为

类似地，可写出和.

然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：

依边界条件即在中划去首末两行和首末两列，在中划去首末两行，便得到如下线性代数方程组：

解之，得§8.二维椭圆边值问题的有限元方法与边值问题(8.1)、(8.2)等价的Galerkin变分问题是：
求，使得
(8.3)
其中

8.1区域剖分
正如前章所言，对高维区域的剖分与对一维区域的剖分有很大不同.对一维区域无论作哪一种剖分，其单元仍然是一个区间，对不同的剖分只是区间长度不同而已.
对高维区域而言，不同的剖分其单元的形状各异，如对二维区域，剖分后的子区域可以是三角形、矩形或四边形.限于篇幅，本书只讨论剖分后所得的子区域是三角形的情况，这种剖分称为三角形剖分.将区域划分成有限个三角形单元，剖分方法见前章，那里曾假定剖分的单元应是锐角三角形．现在我们去掉这一限制，只假定不同的单元是无重叠的内部，且单元的顶点不是其它单元边的内点．当然还要尽量避免出现大钝角的三角形．在物理量变化剧烈的地方，单元要划分得细密一些，变化缓和的地方，划分得稀一些．
划分好单元之后，要对单元和节点进行编号．设是区域中的单元总数，将全区域中的单元统一编号，单元号记为．全区域中的节点也要按一定的顺序统一编号，记全区域中共有个节点，节点号记为
节点编号的一般原则是尽可能使同一单元内的节点号比较接近．以后可以看到，单元内节点序号的差值决定了总体系数矩阵的带宽．8.2确定单元基函数
与一维情形一样，为了构造试探函数空间我们只需在每个单元上构造插值基函数．这里，我们仅考虑三角形单元上的线性插值函数．为了便于后面积分的计算，我们先将直角坐标转换为面积坐标.
1.面积坐标及有关公式
(1)面积坐标的定义
设是以为顶点的
任意三角形单元，面积为，我们
规定的次序按逆时针方向排列．
在中(图8.1)任意一点
的位置，可用它在直角坐标系
中的两个坐标值来确定.如果我们过点作与三个顶点的连线，形成三个小三角形

那么一旦的值确定后，这三个三角形的面积也就有了确定的值；反之，这三个小三角形的面积确定之后，点也就有了确定的位置，由此可见，三角形单元中任意一点的位置，除了可用直角坐标来确定外，还可以用连接点与与三个节点所形成的小三角形的面积来确定．
用分别表示这三个小三角形的面积，显然令
(8.4)
则称这三个比值为点的面积坐标.由定义可知，

所以，并不是互相独立的，其中任意一个面积坐标都可以用另外两个面积坐标来表示，而且它们与直角坐标系的选取方法是无关的，这也是采用面积坐标的一个优点．
显然，三个节点的面积坐标是
节点
节点
节点(2)面积坐标与直角坐标的关系
我们知道

于是，有

其中由此可得到面积坐标与直角坐标之间的如下转换关系：

(8.6)

(8.7)
从上述关系中可以看出，面积坐标和直角坐标
之间是线性变换的关系，它实际上是将平面上的任意形状的三角形变换到平面上的直角三角形单元．经过这种变换，使得在任意三角形区域上的积分问题转化为在直角边为1的直角三角形区域上的积分问题，所以在计算上会带来很大的方便．
(3)面积坐标函数对直角坐标的偏导数
设面积坐标函数为是的函数，由复合函数的求导法则，有

注意到式(8.6)，可得
所以面积坐标函数对直角坐标的偏导数为

(8.8)

(4)面积坐标的积分
单元分析中的积分，由于基函数几乎无例外地均采用多项式函数，被积函数一般都是以幂函数形式出现的，因此在单元分析中经常考虑的