专训2--菱形性质与判定的灵活应用.ppt

阶段方法技巧训练（二）菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有
一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，
四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角
线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一
组对角．
判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平
行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也
可直接判定四边相等．(1)∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC.
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE.
∴四边形BCDE是菱形．(2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA.∴AB＝BC＝1.
∵∠ABD＝90°，E为AD的中点，
∴BE＝AE＝AD.
∵AD＝2BC＝2，∴BE＝AE＝AB＝1.
∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝60°.
∴∠DAC＝30°，∠ADB＝30°.
∴∠ADC＝60°.∴∠ACD＝90°.
在Rt△ACD中，∵AD＝2，∠DAC＝30°，
∴CD＝1.∴AC＝.(1)由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD.
∴∠BAE＝∠EAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD.∴∠AEB＝∠EAF.
∴∠BAE＝∠AEB.∴BE＝AB.
∴BE＝AF.∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形．(2)如图，连接BF，交AE于G，
∵菱形ABEF的周长为16，AE＝4，
∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，
AG＝AE＝2，AE⊥BF.
在Rt△ABG中，AB2＝AG2＋BG2，
∴42＝(2)2＋BG2.∴BG＝2.
∴BF＝2BG＝4.∴AB＝AF＝BF＝4.
∴△ABF为等边三角形．∴∠BAF＝60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠BAF＝60°.(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°.
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°.
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝6.(2)∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF.
又∵∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD.
∴AF＝DF.∴四边形AEDF是菱形．
∴AE＝DE＝DF＝AF.
在Rt△CED中，∵∠CDE＝∠B＝30°，
∴CE＝DE.
又∵CE2＋CD2＝DE2，∴＋9＝DE2.
∴DE＝2(负值舍去)．
∴四边形AEDF的周长为8.(1)∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴在Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，
在Rt△ACD中，DF＝AC＝AF.
又∵AB＝AC，
∴AE＝AF＝DE＝DF.
∴四边形AEDF是菱形．(2)如图，设EF与AD相交于点O.
∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，
设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，
∴x2＋2xy＋y2＝49，①易知AD⊥EF，
∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，
∴＝32.即x2＋y2＝36，②
把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝.
∴菱形AEDF的面积S＝xy＝.