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解线性等式约束优化问题的过滤集模式搜索方法
一、引言
在优化问题中，线性等式约束是常见的一种约束条件。解决线性等式约束问题可以使用许多不同的算法和方法，其中之一是过滤集模式搜索方法。本文将探讨过滤集模式搜索方法在解决线性等式约束优化问题中的应用，介绍其原理、特点和相关算法。
二、线性等式约束优化问题
线性等式约束优化问题是这样的一个问题：求解目标函数f(x)最小值，其中x是n维向量，同时满足如下约束条件：
Ax=b
其中，A是一个m×n的矩阵，x和b是n维向量。
解决这个问题的一种通用方法是使用拉格朗日乘子法。将目标函数和约束条件的线性组合构成拉格朗日函数，并求其在约束条件下的极小值，即可求得原问题的最优解。
三、过滤集模式搜索方法
过滤集模式搜索方法是求解线性等式约束优化问题的一种方法。其主要思想是利用已知的可行点构成一个过滤集（feasibleset），然后对过滤集进行一系列的模式搜索，最终找到最优解。
过滤集模式搜索方法的优点在于它可以处理大规模的问题，并且具有较好的全局搜索性能。
过滤集模式搜索方法的基本流程如下：
1.初始化过滤集，即找到一组可行解作为起点。
2.将问题转化为非线性优化问题，并根据已有的可行解构建基本集（basicset），作为搜索的起点。
3.对基本集中每个点进行模式搜索，得到一个新的点集。
4.判断新的点集中哪些点可行，并将它们加入到过滤集中。
5.如果过滤集没有收敛，则重复步骤三和步骤四，直到找到最优解。
四、过滤集模式搜索方法的算法
过滤集模式搜索方法包括许多算法和变体。其中比较经典的算法有两种：逐步增广法和逐步减少法。
逐步增广法是通过将一个空的集合逐步扩大成为过滤集的方法。它的基本步骤如下：
1.初始化:构造一个空集合Φ。
2.如果Φ是可行的，则结束算法，输出解。
3.否则，选择一个不可行的可行点x，将x加入到过滤集中。
4.如果过滤集中已经包含所有可行解，则结束算法，输出解。
5.否则，将x加入到基本集中，构造一个新的基本集。
6.如果新的基本集中有更多的可行点，则将它们加入到过滤集中。
7.否则，返回步骤3。
逐步减少法是通过逐步缩小基本集的方法来构建过滤集的。它的基本步骤如下：
1.初始化:将所有可行点构成一个基本集B。
2.如果B中只有一个点，则结束算法，输出解。
3.否则，对B中的每一个点进行模式搜索，得到一个新的点集S。
4.将S中可行的点构成一个新的基本集。
5.如果新的基本集中只有一个点，则结束算法，输出解。
6.否则，返回步骤3。
五、过滤集模式搜索方法的优缺点
过滤集模式搜索方法的优点在于它可以处理大规模的问题，并具有较好的全局搜索性能。此外，该方法还具有以下优点：
1.不需要求解Hessian矩阵，适用于非光滑的非线性优化问题。
2.收敛速度较快，容易调节。
3.可以处理不等式约束和非线性约束。
然而，过滤集模式搜索方法也存在一些缺点：
1.构造过滤集的过程比较繁琐，需要一定的初始点。
2.当数据结构较为复杂时，该方法的搜索效率会下降。
六、结论
过滤集模式搜索方法是一种用于解决线性等式约束优化问题的优秀方法。它通过利用已知的可行点构建过滤集，然后对过滤集进行一系列模式搜索，找到最优解。
虽然该方法具有出色的全局搜索性能和容易调节的优点，但需要注意的是，构造过滤集的过程比较繁琐，而且当数据结构较为复杂时，会影响其搜索效率。因此，在实际使用中需要谨慎选择算法和初始点，以便发挥其最优化的效果。