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渐近非扩张映象下的几类迭代序列的强收敛性
渐近非扩张映象下的几类迭代序列的强收敛性
引言：
迭代法是一种常见且重要的数值计算方法，通常用于求解方程的近似解。在数值分析中，迭代法的收敛性是一个关键的问题。收敛性可以分为强收敛性和弱收敛性，其中强收敛性是指迭代序列逐步接近方程的解，而弱收敛性是指迭代序列最后接近方程的解。
本文将研究渐近非扩张映象下的几类迭代序列的强收敛性。首先，我们将介绍渐近非扩张映象的概念，并给出相关定理。然后，我们将讨论三个常见的迭代序列类型，分别是Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法，并分析它们的强收敛性。最后，我们将总结本文的研究结果。
一、渐近非扩张映象的概念
在讨论迭代序列的收敛性之前，我们首先需要了解渐近非扩张映象的概念。
设X是实数或复数空间上的一个非空闭集，T：X→X是一个映象。如果对于任意的x,y∈X，都有
∥Tx-Ty∥≤∥x-y∥
成立，则称T为一个渐近非扩张映象。
定理1：设X是实数或复数空间上的一个非空闭集，T：X→X是一个连续的渐近非扩张映象，则T在X上有一个唯一的不动点。
该定理的证明可以参考相关文献，这里不再详述。需要注意的是，对于迭代法来说，渐近非扩张映象往往是一个重要的性质。
二、Jacobi迭代法的强收敛性
Jacobi迭代法是一种常见且简单的迭代法，通常用于求解线性方程组。给定线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常向量。Jacobi迭代法的迭代格式如下：
x(k+1)=D^(-1)(b-Rx(k))
其中x(k)表示第k步的迭代解，D是A的对角矩阵，R=A-D是A的剩余部分。
定理2：设A是一个规范矩阵（即A的每一行之和的模不超过1），x^*是方程Ax=b的解，那么当ρ(B)<1时，Jacobi迭代法是强收敛的。
这里B=-D^(-1)R是Jacobi迭代法的迭代矩阵，ρ(·)表示矩阵的谱半径。证明该定理的过程比较复杂，需要用到矩阵的谱半径等相关知识，这里不再详述。
三、Gauss-Seidel迭代法的强收敛性
Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的一种改进方法。它的迭代格式如下：
x(k+1)=D^(-1)(b-(L+U)x(k+1))
其中L是A的下三角部分，U是A的上三角部分。
定理3：设A是一个严格对角占优矩阵（即对于每一行，该行对角元素的绝对值大于其它元素之和的绝对值），x^*是方程Ax=b的解，那么当ρ(B)<1时，Gauss-Seidel迭代法是强收敛的。
这里B=-(L+D)^(-1)U是Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵，ρ(·)表示矩阵的谱半径。类似地，证明该定理的过程较为复杂，需要用到矩阵的谱半径等相关知识。
四、SOR迭代法的强收敛性
SOR（SuccessiveOver-Relaxation）迭代法是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的另一种改进方法。它的迭代格式如下：
x(k+1)=(D-ωL)^(-1)((1-ω)D+ωU)x(k)
其中L和U仍然是A的下三角部分和上三角部分，ω是松弛因子。
定理4：设A是一个严格对角占优矩阵，x^*是方程Ax=b的解，0<ω<2是SOR迭代法的松弛因子，那么当ρ(B)<1时，SOR迭代法是强收敛的。
这里B=(D-ωL)^(-1)((1-ω)D+ωU)是SOR迭代法的迭代矩阵，ρ(·)表示矩阵的谱半径。同样，证明该定理的过程比较复杂。
结论：
本文讨论了渐近非扩张映象下的几类迭代序列的强收敛性。我们对Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法进行了详细的讨论，并给出了相关的定理。这些定理表明，在满足一定条件下，这些迭代法都是强收敛的。
迭代法作为一种重要的数值计算方法，在实际问题中有着广泛的应用。研究迭代序列的收敛性是迭代法的理论基础，对于提高迭代法的计算效率具有重要的意义。在进一步研究中，可以探索更多类型的迭代法，以及它们的收敛性问题，从而推动数值计算方法的发展。
参考文献：
1.李荣华.数值分析与计算方法[M].清华大学出版社,2000.
2.张金凤,吴立峰.数值分析(第2版)[M].高等教育出版社,2011.