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非扩张非自映射迭代的强收敛性的综述报告
非扩张非自映射迭代的强收敛性是一类重要的数学问题，本文将对其进行综述，首先介绍其基本定义和一些重要的定理，然后详细阐述其证明过程和相关应用。
1.基本定义：
我们称一个迭代序列{x_k}强收敛到点x^*时，如果对于任意给定的正数ϵ，都存在一个正整数N，当k≥N时，有d(x_k,x^*)≤ϵ成立，其中d表示两个点之间的距离。
进一步地，考虑非扩张非自映射迭代的情况，我们称一个映射T是非扩张的，如果对于任意两个点x和y，都有d(Tx,Ty)≤d(x,y)成立；又称一个映射T是非自映射的，如果对于任意的x≠y，都有Tx≠Ty。
基于以上概念，我们可以定义一个非扩张非自映射迭代序列{x_k}，即每个x_k满足x_k+1=T(x_k)。
2.重要的定理：
（1）Banach不动点定理：
如果一个完备度量空间中的映射T是一个连续的压缩映射，那么它具有唯一的不动点x^*，也就是Tx^*=x^*，并且对于任意给定的初始点x_0，迭代序列{x_k}强收敛到x^*。
这个定理是非常重要的，它保证了非扩张非自映射迭代序列的收敛性，因为这样的映射T一定是连续的和压缩的。
（2）Krasnosel'ski定理：
考虑一个非扩张非自映射序列{T_n}和它们的不动点{x_n}，我们称{T_n}为一族连续的非扩张非自映射，如果对于任意的k>j，都有T_kx_j∈[x_j,x_k]，其中[x_j,x_k]为线段。
则存在一个点x^*∈[x_1,x_2]，它同时是所有映射T_n的不动点，并且迭代序列{x_n}强收敛到x^*。
3.证明过程：
Banach不动点定理的证明可以利用完备度量空间的几何特征和压缩映射的性质。具体地，我们可以考虑一个精确的逐步逼近过程，从初始点x_0出发，借助连续的压缩映射不断迭代，形成一个逐步修正的数列{x_n}。通过利用不等式关系，我们可以证明这个数列是一个柯西序列，即距离越来越小，因此存在极限x^*，并且收敛很快。
Krasnosel'ski定理的证明则借助了非扩张非自映射假设下的线性性质和极限过程。具体地，我们可以将连续的非自映射分成若干个区间，并利用它们的线性关系不断添加新的不动点，并通过极限过程逐一拼接。显然，这样得到的新的不动点也具有非扩张和非自映射的性质，因此逐步得到一个整体的强收敛解。
4.相关应用：
强收敛性是很多应用问题的核心，例如地球物理学中的反演问题、图像处理中的通道融合等。在这些应用中，需要利用非扩张非自映射迭代序列来求解某种特定的物理或统计规律，例如地球内部的密度分布、图像的过度平滑和复原等。通过深入理解和应用这些定理，我们可以有效地解决这些实际问题，并取得优秀的结果。