南京精选中考数学易错题专题复习初中数学 旋转.pdf

南京精选中考数学易错题专题复习初中数学旋转

一、旋转
1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60°
得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。
1
【答案】（1）30（2）见解析（3）30
2
1
【解析】解：（1）30。
2
（2）△ABE为等边三角形。证明如下：

连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD，
∴BC=BD，∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°，
1
∴ABD60DBEEBC30且△BCD为等边三角形。
2
在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，
11
∴△ABD≌△ACD（SSS）。∴BADCADBAC。
22
11
∵∠BCE=150°，∴BEC180(30)150。∴BECBAD。
22
在△ABD和△EBC中，∵BECBAD，EBCABD，BC=BD，
∴△ABD≌△EBC（AAS）。∴AB=BE。
∴△ABE为等边三角形。
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE1506090。
又∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC。
(180150)
∵∠BCE=150°，∴EBC15。
2
1
而EBC3015。∴30。
2
180
（1）∵AB=AC，∠BAC=，∴ABC。
2
∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴DBC60。
180
∴ABDABCDBC6030。
22
（2）由SSS证明△ABD≌△ACD，由AAS证明△ABD≌△EBC，即可根据有一个角等于60
的等腰三角
形是等边三角形的判定得出结论。
(180150)
（3）通过证明△DCE为等腰直角三角形得出EBC15，由（1）
2
1
EBC30，从
2
1
而3015，解之即可。
2

2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶
点为D（0，4），AB=42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F
旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线
C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正
方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

1
【答案】（1）yx24；（2）2＜m＜22；（3）m=6或m=17﹣3．
2
【解析】
试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（22，0），设抛物线的解析式为
1
yax24，把A（22，0）代入可得a=，由此即可解决问题；
2
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为
1
yx24
1
22
yxm4，由，消去y得到x22mx2m280，由题
21
yxm24
2

(242m280

意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有2m0，
2m280

解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知
P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，
∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣
2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得
M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（22，0），设抛物线的解析式为
1
yax24，把A（22，0）代入可得a=，∴抛物线C的函数表达式为
2
1
yx24．
2
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为
1
yx24
12
yxm24，由，消去y得到x22mx2m280，由题意，
21
y(x4
