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马尔可夫(1856~1922) Markov,AndreiAndreevich 俄罗斯数学家.1856年6月14日生于梁赞,1922年7月20日卒于圣彼得堡.1874年入圣彼得堡大学,受P.L.切比雪夫思想影响很深。1878年毕业,并以《用连分数求微分方程的积分》一文获金质奖章。两年后,取得硕士学位,并任圣彼得堡大学副教授。1884年取得物理-数学博士学位,1886年任该校教授。1896年被选为圣彼 得堡科学院院士。1905年被授予功勋教授称号。 马尔可夫是彼得堡数学学派的代表人物。以数论和概率论方面的工作著称。在数论方面,他研究了连分数和二次不定式理论,解决了许多难题。在概率论中,他发展了矩法,扩大了大数律和中心极限定理的应用范围。马尔可夫最重要的工作是在1906~1912年间,提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式——马尔可夫链。同时开创了对一种无后效性的随机过程——马尔可夫过程的研究。马尔可夫过程在自然科学、工程技术和公用事 业中有广泛的应用。他的主要著作有《概率演算》等。第十一章马尔可夫链第17讲马尔可夫过程与马尔可夫链第19讲马尔可夫过程与马尔可夫链第19讲马尔可夫过程与马尔可夫链第19讲马尔可夫过程与马尔可夫链第19讲马尔可夫过程与马尔可夫链一、马尔可夫过程一、马尔可夫过程例11.1如果{X(t),ta}是独立增量过程,且X(a)=0, 那么{X(t),ta}是一个马尔可夫过程.例11.1如果{X(t),ta}是独立增量过程,且X(a)=0, 那么{X(t),ta}是一个马尔可夫过程.例11.1如果{X(t),ta}是独立增量过程,且X(a)=0, 那么{X(t),ta}是一个马尔可夫过程.例11.2某人不断地掷一枚骰子.设Xn表示前n次掷骰子后 出现的最大点数,随机序列的状态空间E={1,2,3,4,5,6}. 易见X1X2…,且Xn的值由Xn-1与第n次出现的点数确定,而与X1,X2,…,Xn-2的值无关.因此Xn是一个参数离散、状 态离散马尔可夫过程.例11.4设在每次试验中,事件A发生的概率为p,独立重复进行这项试验,Xn表示到第n次为止事件A发生的 次数,说明{Xn,n=1,2,…}是一个马尔可夫过程。第19讲马尔可夫过程与马尔可夫链二、马尔可夫链二、马尔可夫链二、马尔可夫链二、马尔可夫链二、马尔可夫链二、马尔可夫链根据马尔 可夫性二、马尔可夫链二、马尔可夫链例11.5爱伦菲斯特模型设袋中装有红球与白球共a只.每隔单位时间从袋中随机地取出一球,同时换另一种颜色的球放入袋中,设Xn表示第n次摸球并放回后袋中红 球的个数.写出它的一步转移概率矩阵。当状态i取1,2,…,a-1时,例11.5爱伦菲斯特模型设Xn表示第n次摸球并放 回后袋中红球的个数.写出它的一步转移概率矩阵。例11.5爱伦菲斯特模型设Xn表示第n次摸球并放 回后袋中红球的个数.写出它的一步转移概率矩阵。例11.6(0-1传输系统)只传输数字0和1的串联系统中,设每一级的传真率为p,误码率为q=1-p.并设一个单位时间传输一级.X0表示第一级输入,Xn表示第n级输出,说明Xn是一个马尔可夫链,并写出它的一步转移概率矩阵。例11.6(0-1传输系统)只传输数字0和1的串联系统中,设每一级的传真率为p,误码率为q=1-p.并设一个单位时间传输一级.X0表示第一级输入,Xn表示第n级输出,说明Xn是一个马尔可夫链,并写出它的一步转移概率矩阵。例11.7在线段[1,5]上有一个质点,假设质点只能停例11.7带有两个反射壁的一维随机游动.例11.8传染模型考虑由N个人组成的一个群体及某种不能治愈的传染病A.疾病A通过接触方式传染,健康者如果不与患者接触,就不会得病.设Xn表示时刻n该群体的患疾病A的人数.说明{Xn,n=0,1,…,N}是以马尔可 夫链,并写出其一步转移概率矩阵。例11.8传染模型例11.8传染模型例11.9某计算机房的一台计算机经常出故障,研究者每隔15分钟观察一次计算机运行状态,收集了24小时的数扰(共作97次观察).用T表示正常状态,用H表示不正常 状态,所得的数据序列如下: TTTHHTHHTTTTTTTHHTTTTHTTTTTTHHTTTTTTTTTHHHTTHTTHT TTTHTTHTTHTHTTTTHTTTHTTTTHTTTTTTHHTTHTTTTTTHHTTT 设Xn为第n个时段的计算机状态,可以认为它是一个齐次 马氏链,状态空间I={T,H}. 1)确定Xn一步转移概率矩阵. 2)若交换机在前一时段(15分钟)的状态为H,问从本时段起此计算机能连续正常工作一小时(4个时段)的概率 为多少?金质奖章。两年后,取得硕士学位,并任圣彼得堡大学副教授。1884年取得物理-数学博士学位,1886年任该