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合作博弈Shapley值的扩展与应用
合作博弈Shapley值的扩展与应用
Abstract
合作博弈中的Shapley值是一个重要的理论概念，用于衡量成员在合作博弈中所创造出的贡献。本论文将对Shapley值进行扩展与应用，包括Shapley-Q值和Shapley-DS值。同时，结合实际案例，探讨了Shapley值在资源分配和核心选择两个方面的应用，并进行了理论分析和数值计算。
Introduction
合作博弈是指参与方在享受相应好处的前提下，共同努力达成某一目标的博弈。在这种博弈中，合作的成员需要相互协同，创造出更多的收益。但是，在分配收益时，如何公平地根据每个成员的贡献来分配，是一个难题。Shapley值就是解决这个问题的一种方法。
Shapley值是1964年由LloydS.Shapley提出的，用于衡量每个成员在合作博弈中所做出的贡献。它的基本思想是，将每个成员的贡献分别与其他成员配对，计算他们对总收益的贡献，然后将这些贡献求和，最后得到该成员的Shapley值。它是一种公平分配收益的方法，被广泛应用于资源分配、协同管理和社会选择等领域。
Shapley值的扩展
虽然Shapley值是一种有效的衡量成员贡献的方法，但是在实际应用中还存在着一些问题。这些问题主要涉及Shapley值的计算和应用范围。
首先，Shapley值的计算复杂度很高，需要计算n!次，对于较大的n，计算时间非常长。其次，Shapley值只适用于合作博弈，在其他类型的博弈中不适用。因此，研究人员提出了一些扩展方法来解决这些问题。
Shapley-Q值是一种对Shapley值的改进，能够快速计算多个成员的Shapley值。它基于迭代自我估计，从而根据用户的建议调整计算策略。通过轮流估计每个成员的Shapley值，算法能够在几次迭代中收敛至近似的Shapley值。Shapley-Q值可以降低计算时间，解决了Shapley值计算复杂度高的问题。
另一种扩展Shapley值的方法是Shapley-DS值。它能够解决非合作博弈的问题，通过对临界价值的定义，将成员分成有关系和无关系的两组。有关系的成员的贡献需要被计算，而无关系的成员则可以被忽略。Shapley-DS值还可以被用于考虑联盟的稳定性，在稳定联盟选择问题中有很好的应用。
应用案例
Shapley值在资源分配和核心选择两个方面的应用较为广泛。下面将结合实际案例来探讨Shapley值的应用。
资源分配
在资源分配问题中，估算每个成员的贡献可以帮助公平分配资源。假设有n个成员合作完成一个项目，他们所需要的资源为x。如果每个成员的Shapley值为$v_i$，则该成员应该获得$v_ix$的资源。
例如，在科学研究中，多个研究人员合作完成一项研究项目，需要公平分配研究经费。如果每个成员的研究投入可以衡量其贡献，那么可以根据Shapley值来计算每个成员应该获得的经费。这样可以确保资源分配的公平性和科研研究的高效率。
核心选择
在核心选择问题中，成员可能形成一个联盟，共同享有一些目标利益。联盟的成员可以通过合作获得一些收益，但是收益的分配问题是一个关键问题。核心选择问题就是要从联盟可能形成的所有子集中，找出那些可以达到合作的成员组成的联盟，并使得每个成员都能得到一定的收益。
Shapley值可以用于核心选择，通过计算每个成员加入联盟后对联盟的贡献，确定哪些联盟应该纳入核心。如果一个联盟如果没能纳入核心，那么这个联盟成员的利益就会被分配给其他成员，导致不公平。因此，选择正确的核心对于联盟长期稳定发展至关重要。
例如，在某个行业中，多个企业可以组成联盟互相合作。在合作中，针对不同的项目，不同的企业贡献不同。如果要让每个企业得到公平分配的收益，可以采用Shapley值来确定有哪些企业应该组成核心，并在结盟时保证这些企业能够更公平地分配收益。
结论
Shapley值是一种有效的衡量合作博弈中成员贡献的方法，但是在实际应用中还存在着计算复杂度高和应用范围有限等问题。因此，研究人员提出了Shapley-Q值和Shapley-DS值等扩展方法，解决了Shapley值在实际应用中的问题，并且在资源分配和核心选择等方面得到了广泛的应用。
参考文献
[1]ShapleyLS.Avalueforn-persongames[C].ContributionstotheTheoryofGames,1953,2(1):307-317.
[2]WangJ,DingY,JiangY,etal.AmodifiedShapleyvaluealgorithmforlarge-scalesimulationgrid-basedcoreselection[C]//IEEEInternationalConferenceonClusterComputinga