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临界线上的RIEMANNZETA函数的定量估计
一.引言
这篇论文旨在介绍临界线上的黎曼ζ函数的定量估计。黎曼ζ函数是数学中一种非常重要的函数，其定义域为复平面，其在数学分析及各种分支领域有广泛的应用。尤其在数论和物理学中，其作用尤为突出，例如：大数定律、分析数论、素数分布、物理学的量子场论及弦理论等方面有着重要的应用。而且，到目前为止，还没有发现比黎曼ζ函数更具深度的数学问题。
二.引理
1.素数密度
由素数定理可知，素数的个数大致在n/ln(n)左右，即素数的密度为1/ln(n)。得出
φ(x)=∑p≤x1(lnp)
表示素数p≤x的倒数之和，则φ(x)+lnx随着x次方增长，增长率随着x的增大越来越慢，因此，x趋于无穷时φ(x)+lnx趋于常数，也即大数定理的度量化表示。
2.狄利克雷级数
狄利克雷级数指形如∑an/n(s+1)的级数。比较简单的狄利克雷级数有：
对于任意实数s，ζ(s)都是收敛的；
对于大于1的正整数s，ζ(s)是发散的；
一些函数可以表示成∑an/n(s+1)的形式，比如DirichletL函数。
由此可见，狄利克雷级数是黎曼ζ函数的一个并列概念。
三.定量估计
临界线上的黎曼ζ函数的定量估计，指的是计算当z趋近于临界线时（即实部为1/2时）黎曼ζ函数的增长率。因为临界线上的黎曼ζ函数是非常复杂的，所以要求精确的算法非常困难，但是一些估计方法已经被提出。
1.斯特林公式
斯特林公式用于计算阶乘的大小，通常表示为:
ln(n!)=nlnn−n+O(lnn)
斯特林公式可以用于计算ϑ(s)的增长率，其中ϑ(s)可以写成：
ϑ(s)=∑n≤x(n^s)/s−∫1x(⌊t⌋^s)/t^2
然而斯特林公式并不是一个它本身就可以计算到ζ(s)值的直接方法。同时斯特林公式还不能给出黎曼ζ函数的临界线上的特定值。
2.奇怪的实数公式
则上下界认为:
o(1)+(n^(-s+1/2)/(s-1/2+(logn)/(log2)))-o(1)≤ζ(s)≤o(1)+(n^(-s+1/2)/(s-1/2+(logn)/(log2)))
4.翁奇富定理
翁奇富定理是种数论方法，它能在确定极端点的情况下，产生一些小的间断项。该定理为：
M(T)=∫T2T1|ζ(1/2+it)|^2dt=Tlog^2T+O(TlogT)
其中M(T)是由临界线上的ζ函数的平方值确定的积分。翁奇富定理能对临界线上的ζ函数进行有效的定量估计，但是它要求ζ函数需要在临界线上具有另外的几个方面的特征。
四.结论
在临界线上，黎曼ζ函数的增长率是与众不同的，并且非常难以计算，但是斯特林公式、奇怪的实数公式和翁奇富定理为计算临界线上的黎曼ζ函数的增长率提供了重要的方法。这些方法虽然不能算出黎曼ζ函数的确切值，但是它们可以计算出黎曼ζ函数的上下界，从而对临界线上的黎曼ζ函数进行有效的定量估计。从而提供了数学分析及物理学等领域混沌动力学、大数定律、稳定性等问题的研究基础。