Riemann函数的连续问题.pdf

证明：黎曼函数
1pp
,x=,(p,q为正整数,为既约真分数)
Rx()=qqq
0,x=0,1,或为区间(0,1)的无理数
在(0,1)内任何无理点都连续,任何有理点处都不连续.
读题:(1)R(23/)?,(/)?,(/)?,(/)?=R33=Rπ4=Re5=
(2)RRRR(/)19=?,(/)29=?,(/)49=?,(/)79=?
RR(/)39=?,(/)69=?
11
(3)使Rx()=的x有几个?使Rx()>的x有几个?
99
1
使Rx()=的x有不会超过8个.
9
1111
使Rx()>的函数值为:,,,,
9238
1
使Rx()>的x不会超过:12+++7
9
(4)对于任意给定的ε>0,使Rx()>ε的x至多有几个?(有限个!)
1
证明：黎曼函数
1pp
,x=,(p,q为正整数,为既约真分数)
Rx()=qqq
0,x=0,1,或为区间(0,1)的无理数
在(0,1)内任何无理点都连续,任何有理点处都不连续.
证:先证在有理点不连续.
为内的有理点以下证
设x0(0,1).lim(Rx()−≠Rx(0))0.
xx→0
p1
设x=,则Rx()=.
0q0q

对∀>δ0(无论δ如何小),在Ux(0,)δ内总可以找到无理数x,使得
1
|Rx()−=Rx()|,
0q
即故在点不连续
limRx()≠Rx(0),R(x)x0.
xx→0

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证:再证函数在无理点连续.设ξ∈(0,1)为无理点,则R(ξ)=0.
以下要证:limRx()=R(ξ)=0.
x→ξ
即要证:∀>εδ00,,∃>当||x−<ξδ时有
|Rx()−=<R()|ξεRx().
(i)当x为无理数时,显然有|Rx()−=<R(ξε)|0.
11
(ii)当x为有理数时,|Rx()−R(ξ)|=,能使≥ε的q只有有限个,
qq
从而使的有理数也只有限有个不妨设为
Rx()>εx,xx12,,xn.

这些点与的最小距离为
ξ:δ=min{|xx12−−ξξ|,||,|xn−ξ|}.
对于满足||x−<ξδ的有理点x,有
|Rx()−<R(ξε)|.
故只要x满足||x−<ξδ就有
|Rx()−<R(ξε)|,

即R(x)在ξ连续.

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