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Gorenstein模的研究
Gorenstein模的研究
引言：
Gorenstein模是交换环上模的一个重要概念。它在代数几何、表示论和同调代数等领域都有广泛的应用。本文主要研究Gorenstein模的基本性质和一些重要结论。
一、Gorenstein模的定义
设R是一个交换环，M是一个R-模。我们称M是一个Gorenstein模，如果存在一个自然数n，使得ExtRi(M,R)和TorRi(M,R)对于所有i大于n都是平凡的。其中ExtRi(M,R)表示M的第i个Ext扩张模，TorRi(M,R)表示M的第i个Tor模。
这个定义可以用以下等价的方式表述，对于所有的R-模N，有以下自然同构：
ExtRi(M,N)≅HomR(TorRi(N,R),M)
其中HomR(TorRi(N,R),M)表示从TorRi(N,R)到M的R-模同态集合。
二、Gorenstein模的基本性质
1.Gorenstein投射模和Gorenstein平坦模
设R是一个交换环，M是一个R-模。
(1)如果M是一个Gorenstein模，那么M是Gorenstein投射模当且仅当ExtRi(M,-)对所有i大于n都是函子平凡的。
(2)如果M是一个Gorenstein模，那么M是Gorenstein平坦模当且仅当TorRi(-,M)对所有i大于n都是函子平凡的。
在定义中提到的Ext和Tor扩张模以及函子的平凡性在交换环的模研究中是非常重要的概念。投射模和平坦模是模论中的两个重要的概念，它们的Gorenstein版本对于理解Gorenstein模的性质和结构起到了关键作用。
2.Gorenstein维数
设R是一个交换环，M是一个R-模。我们定义M的Gorenstein维数为
G-dim(M)=inf{n:ExtRi(M,R)和TorRi(M,R)对于所有i大于n都是平凡的}
G-dim(M)是一个与模M相关的数。它刻画了模M在Ext和Tor操作下的非平凡性。
三、Gorenstein环和Gorenstein模
1.Gorenstein环的定义
设R是一个交换环，如果R作为一个R-模是一个Gorenstein投射模，那么R被称为一个Gorenstein环。如果R作为一个R-模同时也是一个Gorenstein平坦模，那么R被称为一个绝对Gorenstein环。
Gorenstein环是Gorenstein模的一个特殊情形，它有丰富的性质和结构。绝对Gorenstein环作为一种特殊的Gorenstein环在同调代数中有着广泛的应用。
2.Gorenstein环和Gorenstein模的关系
设R是一个交换环，M是一个R-模。如果R是一个Gorenstein环，那么M是一个Gorenstein模当且仅当存在一个自然数n，使得ExtRi(M,R)和TorRi(M,R)对于所有i大于n都是平凡的。
Gorenstein环和Gorenstein模之间的关系是一个重要的研究方向。它们的关系可以帮助我们理解Gorenstein环和模的性质，以及它们之间的相互作用。
结论：
Goreinstein模是交换环上模的一个重要概念。本文主要研究了Gorenstein模的基本性质和一些重要结论。我们介绍了Gorenstein投射模和Gorenstein平坦模的定义及其性质，以及Gorenstein维数的概念。同时，我们还讨论了Gorenstein环和Gorenstein模之间的关系。Gorenstein环作为Gorenstein模的特例，在同调代数中有着广泛的应用。今后的研究中，我们可以进一步探讨Gorenstein模的性质和结构，以及Gorenstein环和Gorenstein模的更深层次的关系。