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复变函数中proper映射几何理论研究的任务书
1.研究背景
复变函数是数学中一个重要的分支，在实际应用中发挥着至关重要的作用。其中proper映射是一类具有重要意义的映射类型。proper映射指的是将一个紧致集合映射为一个紧致集合的映射。这类映射在几何学中有着广泛的应用，例如把一个球面映射成平面、把一个圆盘映射为单位圆周等。因此，proper映射的研究具有重要的理论和应用价值。
2.研究目的
本次研究旨在探究复变函数中proper映射的几何理论，主要包括以下几个方面：
（1）proper映射的定义及性质：了解proper映射的基本概念和定义，掌握其基本性质，例如保持边界点个数不变、将紧致集合映射为紧致集合等。
（2）proper映射的分类：研究proper映射的分类方法，例如亚纯函数、调和函数等，掌握各种方法的特点及适用范围。
（3）proper映射的应用：介绍proper映射在几何学中的应用，例如球面映射、单位圆周映射等，探究其相关的数学问题和应用。
（4）proper映射的扩展：了解proper映射的扩展概念及其在几何学和物理学中的应用，例如扩展到有限曲面、超几何空间等领域。
3.研究方法和步骤
（1）文献调研：通过查阅相关文献了解proper映射的基本概念、性质、分类方法、应用等方面的研究成果，进行资料的搜集和整理。
（2）理论分析：在掌握proper映射的基本概念和性质基础上，采用数学分析及逻辑思维的方法对其进行理论分析和探讨。
（3）案例研究：通过对一些已有的proper映射应用案例的研究分析，深入探讨proper映射在几何学中应用的具体情况及相关数学问题。
（4）模型建立：结合已有的proper映射理论知识和应用案例，梳理归纳其数学模型和方法，从而为其应用提供理论指导。
4.预期成果
（1）对proper映射的基本概念、性质、分类方法、应用等方面的研究结果进行总结归纳，提出自己的理解和见解。
（2）深入探究proper映射在几何学中的应用，例如球面映射、单位圆周映射等，并探究其相关的数学问题和应用。
（3）对proper映射的数学模型和方法进行梳理归纳，为其应用提供理论指导。
（4）撰写出一篇包含proper映射的几何理论研究的论文，达到科学研究论文的水平，为该领域的研究和应用做出一定的贡献。