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数值稀疏插值与多项式系统简单重根求解的开题报告
数值稀疏插值是一种通过少量的数据点来近似估计函数，从而得到未知数据点的值的技术。在图像处理、信号处理、机器学习等领域中广泛应用。多项式系统简单重根求解则是在求解非线性方程组时，使用多项式系数式子构造牛顿迭代法中用到的函数，来进行更加高效的求解方法。
在数值稀疏插值中，我们通常使用多项式插值来近似原函数。其中，多项式插值使用的多项式次数越高，我们就能够更加忠实的拟合原函数。但是，这种方法的缺点在于，多项式插值在过于密集的采样点下，容易出现过拟合的情况。而且，多项式插值的复杂度也是随着数据点数量的增加而增加的。所以，随机样本取样对于拟合效果的影响很大。为了解决这个问题，在实际应用中，采用的方法是“拉格朗日插值”、“牛顿插值”和“埃尔米特插值”等。其中，“牛顿插值”是最为常用的一种方法。
在多项式系统简单重根求解中，我们主要是解决非线性方程系统中常见的问题：重根问题。当方程组包含了重根时，我们需要使用新的求解方法来避免梯度下降过程中的无限逼近问题。对于非线性方程组的求解，Newton-Raphson迭代法是常用的求解方法之一，而当方程组包含了重根时，使用标准Newton-Raphson方法求解问题则会导致收敛速度下降。针对这个问题，有些文献提出了牛顿法的简单重根倍增（SRMD）和牛顿-拉夫逊法（NRM）等方法，其中SRMD方法相对简单，但是其收敛速度比较慢。而NRM方法收敛速度较快，但其中复杂度较高。
总之，数值稀疏插值和多项式系统简单重根求解在实际应用中发挥着至关重要的作用，并且这些方法仍有很多不足之处需要进一步研究和优化。在接下来的研究中，我们将更加深入地探索这些方法的优缺点，并且提出新的方法来解决现有问题，为解决实际工程问题提供更为精确和高效的算法。