22-复数的乘法与除法.doc

2.2复数的乘法与除法
明目标、知重点1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．

1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用eq\x\to(z)表示．即z＝a＋bi，则eq\x\to(z)＝a－bi.
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.

[情境导学]
我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？
探究点一复数乘除法的运算
思考1怎样进行复数的乘法？
答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
思考2复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.
例1计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
解(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i；
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；
(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
反思与感悟复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
跟踪训练1计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
解(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
思考3如何理解复数的除法运算法则？
答复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
例2计算：(1)eq\f(4－3i,4＋3i)＋eq\f(4＋3i,4－3i)；
(2)(eq\f(1＋i,1－i))6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i).
解(1)原式＝eq\f(4－3i2,4＋3i4－3i)＋eq\f(4＋3i2,4－3i4＋3i)＝eq\f(16－9－24i,42＋32)＋eq\f(16－9＋24i,42＋32)＝eq\f(7－24i,25)＋eq\f(7＋24i,25)＝eq\f(14,25)；
(2)方法一原式＝[eq\f(1＋i2,2)]6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i\r(3)＋\r(2)i,\r(3)2＋\r(2)2)
＝i6＋eq\f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝－1＋i.
方法二(技巧解法)
原式＝[eq\f(1＋i2,2)]6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)ii,\r(3)－\r(2)ii)＝i6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)ii,\r(2)＋\r(3)i)＝－1＋i.
反思与感悟复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练2计算：(1)eq\f(7＋i,3＋4i)；(2)eq\f(－1＋i2＋i,－i).
解(1)eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i.
(2)eq\f(－1＋i2＋i,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(－3＋i·i,－i·i)＝－1－3i.
探究点二共轭复数及其应用

思考1像3＋4i和3－4i这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？
答一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为eq\x\to(z).虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数．
思考2复数a＋bi的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？