张量基本入门分析学习教案.pptx

会计学2目录引言张量基本概念矢量（一阶张量）
矢量(shǐliàng)u在笛卡尔坐标系中分解为矢量（一阶张量）矢量(可推广(tuīguǎng)至张量)的三种记法：AppendixA.1爱因斯坦求和约定(yuēdìng)
如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标(zhǐbiāo)i,j,k,…表示三维指标(zhǐbiāo)，取值1,2,3；希腊指标(zhǐbiāo),,,…均为二维指标(zhǐbiāo)，取值1,2。二阶张量
应变，应力，速度梯度，变形梯度，等。
三阶(sānjiē)张量
压电张量，等。
四阶张量
弹性张量，等。二阶（或高阶）张量的来源
描述一些复杂(fùzá)的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度；
低阶张量的并积；
更高阶张量的缩并，等。应力(yìnglì)张量张量的三种记法：
实体记法：
分解(fēnjiě)式记法：

分量记法：例如一点的应力状态要用应力张量来表示(biǎoshì)，它是具有二重方向性的二阶张量，记为（或）。
矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量为零阶张量。同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名(zhònɡmínɡ)。

自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。目录3.换标符号，具有(jùyǒu)换标作用。例如：特性
共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素为-1，其余的元素都是0
对其任何两个(liǎnɡɡè)指标都是反对称的，即

当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，erst的值不变
常用实例
三个相互正交的单位基矢量(shǐliàng)构成正交标准化基。它具有如下重要性质：
每个基矢量(shǐliàng)的模为1，即eiej＝1(当i＝j时)
不同基矢量(shǐliàng)互相正交，即eiej＝0(当i≠j时)
上述两个性质可以用ij表示统一形式：
eiej＝ij三个矢量a,b,c的混合(hùnhé)积是一个标量，其定义为：1.平衡(pínghéng)方程：2.几何(jǐhé)方程：3.本构方程（各向同性(ɡèxiànɡtónɡxìnɡ)材料）：4.变形协调方程(fāngchéng)（平面应变）：目录坐标(zuòbiāo)与坐标(zuòbiāo)转换笛卡尔坐标系(单位(dānwèi)直角坐标系)

坐标变化时，矢径的变化为任意坐标(zuòbiāo)系

坐标(zuòbiāo)变化时，矢径的变化为概念(gàiniàn)
坐标线
当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。
基矢量
矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi参考架
空间每点处有三个基矢量，它们(tāmen)组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。

对笛卡尔坐标系：欧氏空间中的一般坐标系
现在的坐标线可能(kěnéng)不再正交；
不同点处的坐标线可能(kěnéng)不再平行；
基矢量的大小和方向都可能(kěnéng)随点而异；
各点处的参考架不再是正交标准化基。坐标(zuòbiāo)转换将新基对老基分解：

转换系数(xìshù)：

反之：向新坐标轴投影，即用点乘上式两边，则左边(zuǒbian)：

右边：由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式

经过(jīngguò)类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式坐标转换的一般定义(dìngyì)
设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，和是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组

定义(dìngyì)了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换。
其逆变换为

对(*)式微分

处处不为零，则存在相应(xiāngyīng)的逆变换，即可反过来用唯一确定容许转换由单值、一阶偏导数连续、且J处处不为零的转换函数所实现的坐标转换
正常(zhèngcháng)转换J处处为正，把右手系转换右手系
反常转换J处处为负，把右手系转换成左手系目录张量的分量转换规律
张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而(ránér)其分量的值则与坐标选择密切相关。
所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其坐标不变性。标量分量转换规律(guīlǜ)
设一个标量在新、老坐标系中的值为t和t’，则

矢量分量转换规律(guīlǜ)
张量分量转换规律
以三维空间的二阶张量为例，其分解式是：

其中，Tij为张量分量，eiej称为基矢量，就是把两个基矢量并写在一起，不作任何(rènhé)运算，成为构成矢量的基。张量分量(fènliàng)转换规律