上课用导数及其应用复习小结.pptx

上课用导数及其应用复习(fùxí)小结/////////[分析(fēnxī)](1)利用y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程建立a和b之间的关系式，即可求出f(x)的解析式．
(2)先求出过任一点P(x0，y0)的切线方程，然后求解．///[答案(dáàn)]D/[例1]已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调(dāndiào)区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[分析]依据导数的符号来判断函数的单调(dāndiào)性，再由单调(dāndiào)性求最值．[解析](1)f′(x)＝(x－k＋1)ex
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：

所以，f(x)的单调(dāndiào)递减区间是(－∞，k－1)；
单调(dāndiào)递增区间是(k－1，＋∞)，(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增(dìzēng)，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0<k－1<1，即1<k<2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增(dìzēng)，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
[评析]本题主要考查导数的应用以及综合运用有关知识解决问题的能力．(1)问，利用导函数大于(小于)零，解不等式求得函数的单调区间(注意参数(cānshù)k的取值对单调区间的影响)．(2)问把不等式恒成立求参数(cānshù)的范围问题，转化为求函数f(x)的区间(0，＋∞)上的最值，注意对k分k>0，k<0两种情况进行分类讨论．x所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k<0时，f(x)与f′(x)的情况(qíngkuàng)如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．//已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增(dìzēng)，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．
[解析(jiěxī)](1)由已知f′(x)＝3x2－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2时，对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0，
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0，在(－1,1)上恒成立，
得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．
∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)．
在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，
即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减(dìjiǎn)．
(3)∵f(－1)＝a－2<a，
∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a上方．///////////////////已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式：
(2)讨论g(x)的单调(dāndiào)性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．[解析](1)由题意(tíyì)得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]///////////////////////////////////////////////////////////////