第13讲-角、相交线与平行线.docx

第13讲角、相交线与平行线

知识点1直线、射线、线段
1．班长小明在墙上钉木条挂报夹，钉一颗钉子时，木条还任意转动；钉两颗钉子时，木条再也不动了．用数学知识解释这种现象为两点确定一条直线．

知识点2余角、补角
2．若∠α＝31°42′，则∠α的余角的度数为58°18′，∠α的补角的度数为148°18′．

知识点3相交线
3．如图，点P到直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度．

第3题图第4题图
4．如图，已知直线a，b被直线c所截，∠2＝55°，那么∠1的同位角是∠2，∠3的内错角是∠6，∠2的同旁内角是∠6，∠4＝55°，∠5＝125°．

知识点4角平分线的性质与判定
5．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为3．

知识点5线段垂直平分线的性质与判定
6．若点P在线段AB的垂直平分线上，PB＝10，则PA＝10．

知识点6平行线的性质与判定
7．如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则(C)

A．AB∥BC
B．BC∥CD
C．AB∥CD
D．AB与CD相交
8．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C＝30°．

第8题图第9题图
9．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝71°，则∠4的度数是109°．

知识点7命题
10．下列命题中是真命题的是(C)
A．若AP＝BP，则P是线段AB的中点
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．连接两点之间的线段叫做两点之间的距离

重难点1角平分线、线段垂直平分线

(2017·湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段BD＝AD或CD＝DE或AE＝BE＝BC．

【思路点拨】由∠C＝90°，BD平分∠ABC和DE垂直AB可以构造角平分线性质定理模型，依据角平分线性质可知CD＝DE，又BD是公共边，利用“HL”可以证明Rt△BCD≌Rt△BED，可得BC＝BE.因为DE垂直平分AB，依据线段垂直平分线的性质定理可知BD＝AD，AE＝BE.所以BD＝AD，CD＝DE，AE＝BE＝BC.
【变式训练1】

(2016·长沙)如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13．
【变式训练2】(2015·荆州改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，求AB和BC的长．

解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
∴△EBC的周长为BE＋CE＋BC＝AC＋BC＝24.
又∵△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝40，
∴AB＝16cm.
又∵AB＝AC，
∴16＋BC＝24.∴BC＝8cm.,
eq\x(方法指导)
1．在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求线段的长．
2．在利用线段垂直平分线的性质求角度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到等腰三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求角度．
3．线段垂直平分线的性质定理与角平分线的性质定理作用类似，都起到转化相等线段的作用．

重难点2与平行线有关的角度计算
(2017·潍坊)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足(B)

A．∠α＋∠β＝180°
B．∠β－∠α＝90°
C．∠β＝3∠α
D．∠α＋∠β＝90°
【思路点拨】直接利用已知AB∥DE无法找到∠α与∠β之间的关系，可以考虑过C作CF∥AB，构造两对平行线模型，根据平行线的性质即可求解．
【变式训练3】(2017·衡阳)如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1＝25°，则∠2的度数是(C)
A．25° B．30° C．35° D．60°

变式训练3图变式训练4图

【变式训练4】(2017·十堰)如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝(B)
A．40° B．50° C．60° D．70°,
eq\x(方法指导)平行线拐角问题有以下几种常见类型：(已知AB∥CD，过点E作EF∥AB)

1．(2017·随州)某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分(如图)，发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是(A)
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线