（小学中学试题）初中数学奇妙的最小值 学法指导 不分版本.doc

初中数学奇妙的最小值
曾经遇到过这样一道题：，n，k为正整数，求n与k的最小值。乍一看，许多同学都会想到用以下的方法来解题：首先计算出相差了，经过通分后得，然后便有同学会将分子和分母同时扩大2倍，得：，于是例可以得出n的值为109，k的值为198。这样得出的n与k的值虽然是正整数，但却不是最小的值，这便是此题的解题难点了。
正确的解题方法是这样的：首先想到的便是利用不等式的方法来解题：
由题意得
之后利用放缩法，由于n，k都是正整数，便得

整理后得：
得
最后再得：n≥11，那么相对应的k就为20了。这样的解法虽然比较巧妙，但是不免缺乏些规律性和简洁，难道我们就不能找到一些巧妙的规律？以后再做这种类型的题，问题不是迎刃而解了吗？
于是，我又仔细地观察了一下题目，无意中发现k的最小值正好是两个分母的和，而n的最小值也恰巧是两个分子的和，这难道是巧合吗？我不禁诧异起来。后来，我又发现前后两数相差的值是，于是，好奇心又一次推动我进行进一步的证实。经过了我多次的举例证明之后，证明了我的理论的真实性。我毕竟才疏学浅，于是便去问奥数辅导老师王老师，经过老师的推导，发现果然存在着这样的规律。
那么，老师就让我找出理论根据。经过认真思考，下面就是我的推理依据：
现在我们把题目来改编一下：，a，b，c，d，n，k都是正整数，且，求n与k的最小值。让我们先利用原先的方法来解题。
由
再利用不等式得：
因为a，b，c，d，n，k都是正整数
所以
经整理后得：
所以
则
因为
代入得：
同理，，所以n与k的最小值分别为a+c和b+d。
我们能否将此结论进一步地推广呢？如果，那么这道题如何解决呢？由上面推理可知，所以n与k的最小值分别为不小于和的最小整数。
通过进一步的推理证明，便使我先前的推断完全成立了，也就是说，我研究出了一种更为简洁明了的解题方法，以后遇到类似的题目，我便能很快算出答案了。我不禁为我得出的小小的理论的成功而感到万分的欣喜，这毕竟是经过我的努力探索后所得到的。
我所创造的这个小小的理论虽不像“哥德巴赫猜想”那样轰动了全世界，但至少它在我们平日里数学学习中，提供了不少的实用性和可行性。
不等式的放缩原理是一个不可或缺的重要环节，在关于a<b，a、b为正整数的式子中，可以得到的式子，尤其是在解关于正整数的不等式的解题过程中，会起到相当大的作用。此外，此理论还可以在许多实际问题中得到更广泛的应用。
总之，一些小小的结论和猜想都有可能会给某些方面带来很大的影响。因此，这次的理论还让我们明白了一个道理，许多事情都是有联系的，只要我们善于去研究，善于去推敲，就会发现，其实在大千世界里，奇妙的事情无处不在。
在对这次的项目的研究中，不仅让我们对不等式的性质有了进一步的巩固，以及有难度的放缩原理，这都是对我们的一种锻炼和帮助。课堂上的学习内容给这次的项目研究打下了非常扎实的基础，因为原题是一道不等式求解的变形题，但却也是和不等式的各种性质息息相关，所以，解任何题，都应从它的本质源头入手。