矩阵的因子分解课程.pptx

会计学数据集中可能包含大量特征，维灾难使得数据分析很困难，
1.维归约（降维）：利用旧属性的线性组合得到新属性，使得新属性相互正交，捕获到数据的最大变差（PCA：主成分分析(principlecomponentsanalysis)和SVD）
2.选择特征子集：嵌入（决策树分类其），过滤和包装（搜索，特征加权等）
）矩阵的各种分解在矩阵计算中也扮演相当重要的角色。由于变换即矩阵，所以各种分解从根本上看是各种变换，其目的是将矩阵变换成特殊的矩阵。
§4.2矩阵的满秩分解

满秩分解定理：设为任意矩阵，则存在
使得A=BC,
其中B为列满秩矩阵,C为行满秩矩阵.

例1求下面矩阵的满秩分解由此可知rank(A)=2，且该矩阵第一列、第三列是线性无关的。选取同样，我们也可以选取则称其为A的LU分解或三角分解。定理1(LU分解定理)
设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L（主对角线上元素全为1的下三角矩阵）与唯一的上三角矩阵U，使得

的充要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
定理2(LDU分解定理)
设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵D=diag(d1,d2,…dn)和单位上三角矩阵U，使得
A=LDU
的充要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
矩阵的LU分解方法例1求下列矩阵的LU分解：解：因为1.即使矩阵A非奇异，如果A不满足前n-1个顺序主子式非零，未必能做LU分解，
2.适当改变非奇异矩阵的行的次序，可使改变后的矩阵做LU分解，引入排列阵的概念
定义1设e1,e2,…,en是n阶单位矩阵I的n个列向量，矩阵
P=(ei1,ei2,,…,ein)称为一个n阶排列阵，其中i1,i2,…,in是1,2…n的一个排列.
P是排列阵的充要条件是P为一系列形如P(i,j)的初等交换矩阵的乘积.

排列阵的性质：
1.P是排列阵，则PT和P-1也是排列阵，且PT=P-1
2.P1，P2是排列阵，则P1P2是排列阵
3.
定理§4.4QR分解定理1(QR分解定理)
设A是n阶非奇异实（复）矩阵，则存在正交（酉）矩阵Q与非奇异实（复）上三角矩阵R，使得
A=QR
且除去相差一个对角元绝对值全等于1的对角矩阵因子，分解式是唯一的。

证明：先证明分解的存在性。将矩阵A按列分块得到

由于，所以是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组于是有为正交矩阵。唯一性：设
A=QR=Q1R1,
则
Q=Q1R1R-1=Q1D，
其中D=R1R-1为非奇异上三角矩阵，于是
I=QHQ=(Q1D)H(Q1D)=DHD
所以D为酉矩阵，比较DHD=DDH=I的对角元，可得D为对角矩阵，且对角元的模为1，于是R1=DR,Q1=QD-1
定理2设A是列满秩的mn实（复）矩阵，则存在m阶正交
（酉）矩阵Q和n阶非奇异实（复）上三角矩阵R，使得

定理3设A是mn矩阵，且rank(A)=r>0,则存在m阶正交
（酉）矩阵Q和rn阶行满秩矩阵R，使得

推论设A是mn矩阵，且rank(A)=r>0,则存在mr列正交规范矩阵Q1和rn行满秩矩阵R，使得
A=Q1R，
列正交规范矩阵指的是mr矩阵Q1满足。
矩阵Q1是列正交规范矩阵的充要条件是Q1的列向量组是标准正交向量组

一、Schmidt方法
步骤：1.将矩阵A的列向量1，2，…n施以Schmidt标准正交化,得到1，2，…n标准正交组：

2.取Q=(1，2，…n)，则Q为正交矩阵
3.取R=QTA例1利用Schmidt方法将下列矩阵进行QR分解：解先将A=[1，2，3]的三个列向量正交化与单位化：所以A的QR分解为：A=QR从而从而则得使得例2利用Householder变换将下列矩阵进行QR分解对向量，令使得因此取所求的QR分解为定义1设A，BRnn(Cnn),若存在n阶正交（酉）矩阵U使得UTAU=U-1AU=B（UHAU=U-1AU=B），
称A正交（酉）相似B。定义2设ACnn，若AHA=AAH，称A为正规矩阵。
常见的正规矩阵：
对角矩阵;
对称和反对称矩阵：AT=A，AT=–A。
Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=–A
正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。
正规矩阵的性质：

由定理2若A是n阶正规矩阵，则A酉相似于一个对角阵，即存在一个n阶酉矩阵U使得
UHAU=，
其中=diag(1,…,n),i(i=1,2,…n)是A的特征值。
该式称为正规矩阵的谱分解式.

即i是矩阵A的特征值i所对应的单位特征向量。例1：求正规矩阵从而A的特征值为
λ1=λ2=λ3=1,λ4=-3
当λ=1时，求得三个线性无