【小学中学教育精选】海淀区高三二模数学试题及答案（理科）.doc

海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理科）2010.5
审核：陈亮校对：张浩
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．函数图象的对称轴方程可以为
A． B． C． D．
3．如图，是⊙O的直径，切⊙O于点，
连接，若，则的大小为
A. B.
C. D.
4．函数在定义域内零点的个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
开始
S=0
M
S=S+k

结束
输出S
是
否
k=1
5．已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为
A．1 B．
C．1或 D．0
6．已知，是不同的直线，，是不同的平面，则下列条件能
使成立的是
A．， B．，
C．， D．，

7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为
A． B．
C． D．

8．已知动圆C经过点(0，1),并且与直线相切，若直线与圆C有公共点，则圆C的面积
A．有最大值为 B．有最小值为
C．有最大值为 D．有最小值为

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9．在极坐标系中，若点()是曲线上的一点，则.
10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙
两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如
右图）.，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的
标准差，则.（填“”、“”或“＝”）
11．已知向量a=，b=，若，则；.
12.已知数列满足，（N），则的值为.
13．在中，角,,所对应的边分别为,,，若，则的最大值为.
14．给定集合，映射满足：
①当时，；
②任取若，则有.
.则称映射：是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射：是一个“优映射”.
表1表2
12323112343

（1）已知表2表示的映射：是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）
记等差数列的前n项和为，已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前n项和.

16．（本小题满分14分）

已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

17．（本小题满分13分）
为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.
（Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；
（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望．

18．（本小题满分13分）
已知函数，其中a为常数，且.
（Ⅰ）若，求函数的极值点；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.

19．（本小题满分13分）
已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0),的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点.
（Ⅰ）写出抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程；
（Ⅲ）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.

20．（本小题满分14分）
已知函数的图象在上连续不断，定义：
，
．
其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；
（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理）
参考答案及评分标准2010．5
说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号12345678答案BADCABAD第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
9．110．11．2；12．4813．
14．

；84.

三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由，
可得， ………………………2分
即，
解得， ………………………4分
∴，
故所求等差数列的通项公式为. ………………………5分
（Ⅱ）依题意